《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第8章 第6节 空间图形的垂直关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第8章 第6节 空间图形的垂直关系（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六节第六节 空间图形的垂直关系空间图形的垂直关系知识梳理 一、空间图形的垂直关系一、空间图形的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直 二、直线与直线垂直二、直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为 90，则称两直线垂直，包 括两类：相交垂直与异面垂直 三、直线与平面垂直三、直线与平面垂直 1定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂 直，那么称这条直线和这个平面垂直这条直线叫做平面的垂 线，这个平面叫做直线的垂面 2直线与平面垂直的判定. 类别语言表述 应用 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂 直，那么这条直线和这个平面垂直(定义)证直线 和 平面垂 直 如果一条
2、直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么这条直线垂直于这个平面 (判定定理)证直线 和 平面垂 直 判定如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于这个平面 证直线 和 平面垂 直 3.直线与平面垂直的性质. 类别语言表述图示字母表示应用1.认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命 题如果一条直 线和一个平 面垂直，那 么这条直线 和这个平面 内的任何一 条直线都垂 直Error!ab证两 条 直线 垂直 性质如果两条直 线同垂直于 一个平面， 那么这两条 直线平行Error!ab证两 条 直线 平行四、
3、二面角四、二面角 1定义：从一条直线AB出发的两个半平面(和)所组 成的图形叫做二面角记作二面角AB，AB叫做二面角的棱， 两个半平面(和)叫做二面角的面 2二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过 O分别在二面角的两个面，内作与棱垂直的射线OM，ON， 我们把MON叫做二面角AB的平面角，用它来度量二面角 的大小 平面角是直角的二面角叫做直二面角 五、两个平面垂直的判定和性质五、两个平面垂直的判定和性质. . 1定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直 2两个平面垂直的判定和性质类别语言表述图示字母表示应用 根据定义， 证明两平面 所成的二面 角是直二
4、面 角AOB是二面角 a的平面角， 且AOB90， 则判定如果一个平 面经过另一 个平面的一 条垂线，那 么这两个平 面互相垂直Error!证两个平 面垂直如果两个平 面垂直，那 么它们所成 二面角的平 面角是直角，AOB是 二面角a的平 面角，则 AOB90证两条直 线垂直性质如果两个平 面垂直，那 么在一个平 面内垂直于 它们交线的 直线垂直于 另一个平面Error!a证直线和 平面垂直基础自测 1已知直线m，n和平面，若 ，m，n，要使n，则应增加的条件是( ) A. mn B. nm C. n D. n解析：解析：已知直线m，n和平面，若 ，m，n，根据面面垂直的性质定理，应增 加条件
5、nm，才能使得n.答案：答案：B2(2013广东卷)设m，n是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A若，m，n，则mn B若，m，n，则mn C若mn，m，n，则 D若m，mn，n，则解析：解析：两个平面互相垂直，在每个平面各取一条直线，这 两条直线可能平行、可能相交、可能异面，排除选项 A；两个 平面互相平行，在每个平面各取一条直线，这两条直线可能平 行，可能异面，排除选项 B；根据面面垂直的判定定理知，选 项 C 错误，选项 D 正确故选 D. 答案：答案：D3如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底 面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时
6、， 平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：解析：底面四边相等，BDAC. PA平面ABCD，BDPA. PAACA，BD平面PAC. BDPC. 故当DMPC(或BMPC)时，有PC平面MBD， 从而有平面PCD平面MBD. 答案：答案：DMPC(或BMPC)4设l，m，n为三条不同的直线，为一个平面，下列 命题中正确的是_ 若l，则l与相交； 若m，n，lm，ln，则l； 若lm，mn，l，则n； 若lm，m，n，则ln.解析：解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题 正确；由于不能确定直线m，n是否相交，不符合线面垂直的判 定定理，命题不正确；根据平行线
7、的传递性，ln，故当 l时，一定有n，命题正确；m，n，则 mn，又lm，即ln，命题正确 答案：答案：1(2013新课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平 面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则 ( ) A且l B且l C与相交，且交线垂直于l D与相交，且交线平行于l解析：解析：显然与相交，不然由mn，与m，n 为异面矛盾，排除选项 A；当与相交时，设交线为l， 由m平面，n平面知，lm，ln，而 lm，lm，于是易知ll.故选 D. 答案：答案：D2(2012江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)， 且A
8、DDE，F为B1C1的中点求证： (1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直线A1F平面ADE.证明：证明：(1) ABCA1B1C1是直三棱柱， CC1平面ABC. 又AD平面ABC，CC1AD. 又ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE， AD平面BCC1B1.又AD平面ADE， 平面ADE平面BCC1B1. (2) A1B1A1C1，F为B1C1的中点， A1FB1C1. CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1， CC1A1F. 又CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1， A1F平面BCC1B1. 由(1)知AD平面BCC1B1，A1FAD. 又A
9、D平面ADE，A1F平面ADE， A1F平面ADE.1(2013惠州一模)已知集合A、B、C，A直线， B平面，CAB.若aA，bB，cC，给出下列四个命 题： Error!ac，Error!ac，Error!ac， Error!ac. 其中所有正确命题的序号是_解析：解析：对于，当c表示平面时，根据ab且cb，不一定有ac成立，可能ac，故不正确； 对于，c如果是平面，a可以在平面c内，所以不正确；对于，当c表示平面时，由ab且cb不能推出ac 成立，故不正确； 对于，用与相同的方法，可证出ac成立，故正 确 综上，正确命题的序号为. 答案：答案：2(2013珠海一模)如图，四棱锥PABCD
10、中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC 的中点 (1)求证：CDAE；(2)求证：PD面ABE； (3)求二面角APDC的平面角的正弦值(1)证明：证明：PA底面ABCD，所以CDPA. 又CDAC，PAACA，故CD平面PAC， 因为AE平面PAC， 所以CDAE. (2)证明：证明：PAABBC，ABC60， 所以PAAC，因为E是PC的中点， 所以AEPC， 由(1)知CDAE，从而AE平面PCD， 所以AEPD.易知BAPD，所以PD平面ABE.(3)解析：解析：过点A作AFPD，垂足为F，连接EF. 由(2)知，AE平面PCD，故AFE是二面角APDC的一个平 面角设ACa，则AEa，ADa，PDa，22237 3从而AFa，故 sinAFE.PAAD PD27AE AF144
