《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第4章 第3节 平面向量的数量积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（理）基础知识总复习名师讲义：第4章 第3节 平面向量的数量积（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节第三节 平面向量的数量积平面向量的数量积知识梳理 一、平面向量的数量积的定义 1向量a a，b b的夹角：已知两个非零向量a a，b b，过O点作a a，b b，则AOB(0180)叫做向量a a，b bOAOB的夹角当且仅当两个非零向量a a，b b同方向时，0，当且仅 当a a，b b反方向时，180，同时零向量与其他任何非零向 量的夹角是任意的 2a a与b b垂直：如果a a，b b的夹角为 90，则称a a与b b垂 直，记作a ab b. 3a a与b b的数量积：两个非零向量a a，b b，它们的夹角为 ，则cos 叫做a a与b b的数量积(或内积)，记作a ab b，|
2、a a|b b|即a ab bcos ，规定 0a a0，非零向量a a与b b当且仅|a a|b b|当a ab b时，90，这时a ab b0.1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的 垂直关系.4b b在a a方向上的投影：|OP|cos R R(注|b b|(a ab b|a a|)意是射影)|OP|5a ab b的几何意义：a ab b等于a a的长度与b b在a a方向上 的投影的乘积 二、平面向量数量积的性质 设
3、a a，b b是两个非零向量，e e是单位向量，于是有： 1e ea aa ae ecos .|a a|2a ab ba ab b0. 3当a a与b b同向时，a ab b；当a a与b b反向时，|a a|b b|a ab b，特别地，a aa aa a22，即|a a|.|a a|b b|a a|a a24cos .a ab b|a a|b b|5.|a ab b|a a|b b| 三、平面向量数量积的运算律 1交换律成立：a ab bb ba a. 2对实数的结合律成立：b ba a(a a)(a ab b)(b b).( R R) 3分配律成立：c ca ac cb bc cc c.
4、(a ab b)(a ab b)四、平面向量数量积的坐标表示 1若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1x2y1y2. 2若a a(x，y)，则|a a|2a aa ax2y2，.|a a|x2y23若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| .(x2x1)2(y2y1)2 4若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1x2y1y20. 5若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1y2x2y10. 6若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 cos .x1 x2 y1 y2x2 1 y2 1x2 2 y2 2基础自
5、测 1(2013辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量 AB同方向的单位向量为( )A. B.(3 5，4 5)(4 5，3 5)C. D.(3 5，4 5)(4 5，3 5)解析：解析：(4，1)(1,3)(3，4)，与ABOBOA同方向的单位向量为.故选 A.ABAB|AB|(3 5，4 5) 答案：答案：A2(2013佛山一模)已知a a(1,2)，b b(0,1)， c c(k，2)，若(a a2b b)c c，则k( ) A2 B2 C8 D8解析：解析：a a(1,2)，b b(0,1)，a a2b b(1,4)， 又因为(a a2b b)c c，所以(a a2b b)
6、c ck80， 解得k8，故选 C. 答案：答案：C3在ABC中，已知4，12，则ABACABBC|_.AB解析：解析：4，bccos A4，得ABACb2c2a2 2 b2c2a28， 同理a2c2b224，两式相加得c216，c4. 答案：答案：44已知平面向量，1，2，(2)，|则的值是_|2|答案：答案：101(2013陕西卷)设a a，b b为向量，则 “|a ab b|a a|b b|”是“a ab b”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：解析：a ab b|a a|b b|cos . 若|a ab b|a a|b b|cos 1，
7、则向量a a与b b的夹角 为 0 或 ，即a ab b为真； 相反，若a ab b，则向量a a与b b的夹角为 0 或 ， 即|a ab b|a a|b b|. 答案：答案：C2(2013山东卷)已知向量与的夹角为 120，且|ABAC|3，|2.若，且，则实数的值ABACAPABACAPBC为_解析：解析：由知0，APBCAPBC即()()APBCABACACAB(1)22(1)ABACABAC32940，解得.(1 2)7 12答案：答案：7 121已知两个非零向量a a与b b，定义|a ab b|a a|b b|sin ，其中为a a与b b的夹角若a a(3,4)，b b(0,2)，则 |a ab b|的值为( ) A8 B6 C8 D6解析：解析：由已知可得|a a|5，|b b|2，则 cos a ab b |a a|b b| .sin .|a ab b|a a|b b|sin 3 04 2 5 24 53 552 6.故选 D.3 5 答案：答案：D2(2013韶关二模)已知平面向量 a a，b b，|a a|1，|b b|2，a a(a ab b)；则 cosa a，b b的值是 _解析：解析：由题意可得a a(a ab b)a a2 2a ab b0， 即 112cosa a，b b0，解得 cosa a，b b .1 2答案：答案：1 2
