《2015届高考数学（文）基础知识总复习名师讲义：第4章 第3节 平面向量的数量积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高考数学（文）基础知识总复习名师讲义：第4章 第3节 平面向量的数量积（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节第三节 平面向量的数量积平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理一、平面向量的数量积的定义1向量 a，b 的夹角：已知两个非零向量 a，b，过点 O 作a，b，则AOB(0180)叫做向量 a，b 的夹OAOB角当且仅当两个非零向量 a，b 同方向时，0，当且仅当 a，b 反方向时，180，同时零向量与其他任何非零向量的夹 角是任意的2a 与 b 垂直：如果 a，b 的夹角为 90，则称 a
2、与 b 垂直， 记作 ab.3a 与 b 的数量积：两个非零向量 a，b，它们的夹角为，则cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即|a|b|abcos ，规定 0a0，非零向量 a 与 b 当且仅当 ab|a|b|时，90，这时 ab0.4b 在 a 方向上的投影：|OP|cos R(注意|b|(ab|a|) 是射影)|OP|5ab 的几何意义：ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投 影的乘积二、平面向量数量积的性质设 a，b 是两个非零向量，e 是单位向量，于是有：1eaaecos .|a|2abab0.3当 a 与 b 同向时，ab；当 a 与 b 反向时，|
3、a|b|ab，特别地，aaa22，即|a|.|a|b|a|a24cos .ab|a|b|5.|ab|a|b|三、平面向量数量积的运算律1交换律成立：abba.2结合律成立：ba(R)(a)(ab)(b)3分配律成立：cacbcc.(a b)(a b)四、平面向量数量积的坐标表示1若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.2若 a(x，y)，则|a|2aax2y2，.|a|x2y23若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.|AB|(x2x1)2(y2y1)24若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y20.5若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，
4、则 abx1y2x2y10.6若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则 cos . x1 x2 y1 y2x2 1 y2 1x2 2 y2 2基础自测1(2013辽宁卷)已知点 A(1,3)，B(4，1)，则与向量 AB同方向的单位向量为( )A. B.(35，45)(45，35)C. D.(35，45)(45，35)解析：(4，1)(1,3)(3，4)，与ABOBOA同方向的单位向量为.ABAB|AB|(35，45)答案：A2(2013佛山一模)已知 a(1,2)，b(0,1)，c(k，2)，若(a2b)c，则 k( )A2 B2 C8 D8解析：a(1,2)，b(0,1)，a2b(
5、1,4)，又因为(a2b)c，所以(a2b)ck80，解得 k8，故选 C.答案：C3(2013山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知(1，t)，(2,2)，若ABO90，则实数 t 的值为OAOB_解析：因为ABO90，即，ABOB所以()(3,2t)(2,2)642t0，ABOBOBOAOB解得：t5.答案：54已知平面向量 ，1，2，(2)，则|的值是_|2|答案：101(2013陕西卷)设 a，b 为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：ab|a|b|cos .若|ab|a|b|cos 1，则向量 a 与
6、 b 的夹角为 0 或，即 ab 为真；相反，若 ab，则向量 a 与 b 的夹角为 0 或 ，即|ab|a|b|.答案：C2(2013福建卷)在四边形 ABCD 中，(1,2)， ACBD(4,2)，则该四边形的面积为( )A. B2 C5 D1055解析：因为1(4)220，所以，所ACBDACBC以四边形的面积为5，故|AC|BD|21222 42222选 C.答案：C高考测验1(2012广州一模)已知两个非零向量 a 与 b，定义|ab|a|b|sin ，其中 为 a 与 b 的夹角若 a(3,4)， b(0,2)，则|ab|的值为( )A8 B6 C8 D6解析：由已知可得|a|5，|b|2，则 cos ab|a|b| ，sin .|ab|a|b|sin 3 04 25 2453552 6.故选 D.35答案：D2(2013韶关二模)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，a(ab)；则 cosa，b的值是 _解析：由题意可得 a(ab)a2ab0，即 112cosa，b0，解得 cosa，b .12答案：12
