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1、舟山中学高一数学（下）教学讲义舟山中学高一数学（下）教学讲义-求数列通项公式的方法（两课时）求数列通项公式的方法（两课时） 一、观察法一、观察法 二公式法二公式法 三已知三已知表达式或表达式或与与的关系式，求的关系式，求的通项公式nSnSnana四递推关系法（基本类型）四递推关系法（基本类型） 1.1. 形如：形如：（累乘法）（累乘法）1( )nnaaf n例例 1.1.已知数列满足，求的通项公式。na11231123(1)(2)nnaaaaanan，na解：因为 所以123123(1)(2)nnaaaanan1123123(1)nnnaaaanana用式式得则1.nnnaana1(1)(2)
2、nnana n故 所以11(2)nnanna13 222 122! (1)4 3.2nn n nnaaanaan naaaaa 由，则，又知，则123123(1)(2)nnaaaanan21222naaa取得21aa 11a ，代入得。所以，的通项公式为21a !1 3 4 52nnan na!. 2nna 2.2. 形如：形如：（累加法）（累加法）1( )nnaaf n例例 2 2 已知数列满足，求数列的通项公式。na112 313n nnaaa ，na解：由得则12 31n nnaa 12 31n nnaa所以11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2
3、31)(2 31)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)31 3 331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 31.n nan例例 3 3 已知数列满足，求数列的通项公式。na 112221nnaaan(n2)，na3.3. 形如：形如：（待定系数法）（待定系数法）1(1,0)nnaAaB AB例例 4 4 已知数列满足，求数列的通项公式。na 11221n n naaaa，na4.4. 形如：形如：（待定系数法）（待定系数法）1( )(1)nnaAaf n A例例 5 5 已知数列满足，求数列的通项公式。na1322nnaan11a na例例 6.6. 已知数
4、列满足，求数列的通项公式。na1123 56n nnaaa ， na解：设1 152(5 )nn nnaxax 将代入式，得，等式两边消去，得123 5nnnaa 123 55225nnn nnaxax 2na，两边除以，得代入式得13 5525nnnxx5n352 ,1,xxx 则1 152(5 )nn nnaa 由及式得，则，则数列是以为首项，以1 156510a 50n na 1 1525n n n na a 5 n na 1 151a 2 为公比的等比数列，则，故。152nn na125nn na例例 7 7 已知数列满足，求数列的通项公式。na1135 241n nnaaa ，na解
5、：设1 123(2)nn nnaxyaxy 将代入式，得135 24n nnaa 135 2423(2)nnn nnaxyaxy 整理得。令，则，代入式得(52 ) 24323nnxyxy523 43xx yy 5 2x y 1 15 223(5 22)nn nnaa 由及式，得，则，1 15 221 12130a 5 220n na 1 15 2235 22n n n na a 故数列是以为首项，以 3 为公比的等比数列，因此5 22n na 1 15 221 1213a ，则。15 2213 3nn na 113 35 22nn na 例例 8 8 已知数列满足，求数列的通项公式。na2
6、1123451nnaanna，na解：设 将代入式，得22 1(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz2 12345nnaann ，则2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz等式两边消去，得，2na22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz解方程组，则，代入式，得 3224252xxxyyxyzz 31018xyz 22 13(1)10(1) 182(31018)nnannann 由及式，得2 13 110 1 181 31320a 2310180nann则，故数列为以为
7、2 1 23(1)10(1) 18231018nnann ann231018nann2 13 110 1 181 3132a 首项，以 2 为公比的等比数列，因此，则。213101832 2nnann42231018n nann4.4. 形如：形如：（两边取对数法）（两边取对数法）1( ,kl nnAaBak l可以是常数，也可以是f (n)形式）例例 9 9 已知数列满足，求数列的通项公式。na5 12 3nnnaa17a na解：因为，所以。在式两边取常用对数得5 112 37n nnaaa，100nnaa，5 12 3nnnaa1lg5lglg3lg2nnaan设1lg(1)5(lg)n
8、nax nyaxny11将式代入式，得，两边消去115lglg3lg2(1)5(lg)nnanx nyaxny并整理，得，则，故5lgna(lg3)lg255x nxyxnylg35 lg25xx xyy lg3 4 lg3lg2 164xy 代入式，得 11 1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan12由及式， 1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg71041644164a 12得，则，lg3lg3lg2lg04164nan1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan 所以数列是以为首项，以 5 为
9、公比的等比数列，则lg3lg3lg2lg4164nanlg3lg3lg2lg74164，因此1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164n nan则。11111111 1616444411111 11616444411111 11616444455 514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2 )5lg3lg3lg2lg(7 332 )5lg(332 )lg(7 332 )5lg(332 )lg(733nnn nn nn nn nn nan 11151 16454151 511642)lg(732)nnnn n 1
10、154151 5164732nnnnna 。 5 5、迭代法、迭代法例例 1010 已知数列满足，求数列的通项公式。na3(1)2 115nn nnaaa ，na解：因为，所以3(1)2 1nn nnaa 121323(1) 232 12nnnnnn nnnaaa 2(2) (1)32(2) (1)3(3) (2) (1)11 2(3) (2) (1)(1) 123 (1)2 23(2) 23 (1)2 33 (2)(1)2 332 3(2) (1)2 13! 2 1nnnnnnnnnnnnn n nnn nnnn nnnn nnnnnaaaaa 又，所以数列的通项公式为。15a na(1)
11、123!25n n nn na 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由3(1)2 1nn nnaa 1lg3(1) 2lgn nnana1lg3(1)2lgnnnana累乘法可推知，从而(1) 123!2132 1 1221lglglglglglglg5lglglglgn n nnnn n nnaaaaaaaaaa 。1(1)3!225nn nnna 6.6.特殊形式（构造新数列）特殊形式（构造新数列）例例 11.11. 已知数列满足，设，求数列na12(1)(1)6nnanaa（n-1)，*()nnban nN的通项公式。 nb7 7、
12、换元法、换元法例例 1212 已知数列满足，求数列的通项公式。na111(14124)116nnnaaaa，na解：令，则124nnba21(1)24nnab故，代入得2 111(1)24nnab11(14124)16nnnaaa即22 1111(1)14(1)241624nnnbbb22 14(3)nnbb因为，故1240nnba111240nnba则，即，123nnbb113 22nnbb可化为，113(3)2nnbb所以是以为首项，以为公比的等比数列，3nb 1131243124 132ba 21因此，则，即，得121132( )( )22nn nb21( )32n nb21124( )
13、32n na。2 111( )( )3 423nn na 例例 1 1 已知数列满足，求数列的通项公式。na123 2nnnaa 12a na解：两边除以，得，则，故数列是123 2nnnaa 12n1 13 222nn nnaa 1 13 222nn nnaa 2n na以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，122 2a112331 (1)22n nan 所以数列的通项公式为。na31()222n nan评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列123 2nnnaa 1 13 222nn nnaa 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列2n na31 (
