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1、甘肃省高中数学新课程单元教学设计展示大赛课题名称： 数列数列单元教学设计 设计者姓名： 王建武 设计者单位： 白银市实验中学 联系电话： 13893036624 数列单元教学设计王建武（白银市实验中学，白银，730900）一、教学内容的分析一、教学内容的分析1.1.数学视角的分析数学视角的分析数列是重要的数学模型，是高中数学的重要内容。数列是多维纽带数列是多维纽带。数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的位置，很多知识都与数列有着密切联系。必修 5 之前已经学习过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均有应用，数列也为后续学习数学归纳法等内容奠定了基础。同时，数列研究又反过来促
2、进函数的学习，如对数列极限的研究又成为探索函数极限的认知基础。数列是特殊函数数列是特殊函数。数列作为一种特殊的函数，它的定义域一般是正整数集或其子集。正整数集是离散的，因此，数列通常称为离散函数，如等差、等比数列分别是一次函数和指数函数的离散化。离散函数是相对于定义域为实数集或其连续子集的函数而言的，数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位，也是高中学生体验和认知离散这一数学概念的重要载体。数列是应用模型数列是应用模型。数列具有十分悠久的研究历史，是人类在社会实践中研究数学的最早模型之一。在实际问题背景中，如贷款、教育储蓄、分期付款、商家返券等问题抽象为函数后，其定义域往往是取整的，这为数
3、列的研究提供了丰富的案例和应用空间，也使得数列的研究显现出较强的实用性。数列来源于实际情景，也服务于实际背景。数列是运算载体。数列是运算载体。运算是高中数学的一条主线，它不仅要求根据法则公式列式计算，而且要求能理解算理，根据条件寻求合理、简捷的运算途径。在数列部分的运算中，观察、归纳、猜想、证明无处不在，这在客观上促进了学生运算能力的提高。数列是思想集合数列是思想集合。在数列模块的学习中，划归与转化、归纳与递推、函数与方程、类比、算法等诸多数学思想纷纷登场，使得数列教学成为高中阶段数学思想强化培养的重要题材。2.2.对教材的整体分析对教材的整体分析如前所述，数列作为高中数学的重要组成部分，成为
4、学生学习函数知识、提高运算能力、强化数学思想的重要载体。数列模块设计在人教 A 版数学教材第二章，由 5 节构成。分别为：2.1 数列的概念与表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前 n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前 n 项和作为本章开篇的 2.1 数列的概念与简单表示法，给出了数列的定义以及通项公式和递推公式的概念和具体例子；2.2 等差数列、2.4 等比数列从几个实例出发，分别归纳了等差、等比数列的概念和通项公式；2.3 等差数列的前 n 项和、2.4 等比数列的前 n 项和依托于实际问题情景，借助倒序相加法和错位相减法，分别推理得到了等差、等比数列的前 n 项和公式。2.1
5、 作为本章基础，从数列的定义和通项公式出发，开启了数列模块知识的研究。正如同基本初等函数之于函数的意义是研究其它复杂函数的基础，等差、等比数列也奠基了数列的研究，同时其本身也是重要应用模型。2.3 等差数列前 n 项和、2.5 等比数列前 n 项和不仅解决了两个特殊数列的求和问题，也是其他数列求和的知识基础，更是方法的准备。函数主线贯穿于高中数学学习的始末，数列模块学习中始终依托于例题体现着数列与函数的密切联系。其中有对于等差、等比数列与离散的一次函数、指数函数的联系，也有运用函数思想求等差数列前 n 项和最值的探索。除了函数主线，还有另一条主线运算的身影伴随模块学习的始终，这其中有复杂数据的
6、处理、也算理的理解和运用，还有算法程序的总结提炼，数列成为提高学生运算能力的重要素材。同时，在 2.1 节后和 2.4 节后，教材分别设计了“斐波那契数列”和“九连环”两则阅读与思考内容，这是数列研究的两则经典案例，学生可以藉此增强数列研究来源于实际生活的认知，同时也能到感受自然世界的和谐之美。在教材 2.5 节后，教材设计了一项探究内容“购房中的数学” ，通过探究，学生可以认识到数学的实用性“数学是有用的” 。“玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天，坛坛罐罐求堆积，步步为营算连环” ，数列的知识历来就是人类探索自然世界数学规律的重要题材。在数列模块的学习中，从概念的实际问题背景到具体应用再到课后的
7、阅读与探究，人教 A 版教材都是依托于历史和实际生活中的经典问题，使本章的学习始终处于浓厚的应用氛围中。3.3.课标视角的分析课标视角的分析“课标”中对数列模块的要求从数列与函数的联系出发，提出了等差、等比两类重要数列模型，并通过实际问题的解决，体会数列的运用。我们先将“课标”与“大纲”中对数列模块知识的内容要求做一对比。内容标准目标表述大纲目标表述数列通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式） ，了解数列是一种特殊的函数。理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。等差数列（1）通过实例，理
8、解等差数列的概念。（2）探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。（3）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相关问题。（4）体会等差数列与一次函数的关系。理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式，并能解决简单的实际问题。等比数列（1）通过实例，理解等比数列的概念。（2）探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式。理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式，并能解决简单的实（3）能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相关问题。（4）体会等比数列与指数函数的关系。际问题。显然， “课标”中每一部分知识的引入都
9、重视通过实例理解相关概念，并提倡教学中运用探索策略归纳和推理通项公式与前 n 项和公式。同时，还加强了函数与数列关系的认知，将数列的研究置于函数框架，借力于函数的基础最后又回馈函数的学习。数列的研究来源于解决实际问题的需要，最后的归宿也是实际问题，源于应用又归于应用。数列作为拥有悠久研究历史的古老数学问题，揭示了人类早期认识到的自然世界数量关系，研究数列尤其是等差、等比数列中各量之间的关系是数列学习的基本要义。 “课标”明确提出， “在数列教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系” 。重视必要练习又不囿于机械训练， “课标”要求“,但训练要控制难度和复
10、杂程度” 。因此，在教学中一定要依托于实际问题背景，启发学生自主探究、总结归纳相关概念和公式，同时还要控制练习难度，力争学生真实体验数列知识的本质和独特魅力。4.4.教材比较视角的分析教材比较视角的分析4.14.1 纵向对比纵向对比标准是教材的灵魂，教材是标准的体现。正如上述对于“课标”与“大纲”的对比，“标准”与“大纲”的区别正是两种版本教材之间的区别。综合对比“课标”本和“大纲”本教材，在以下方面具有较大差异。（1 1）启发学生思维维度）启发学生思维维度问题的提出和概念的引入方面问题的提出和概念的引入方面。在引出等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然
11、后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义，从培养学生从特殊到一般的归纳推理能力。但课标本所引实例背景更广泛、背景更真实，在规律的揭示过程中，课标本更有耐心，循循善诱地设计了符合学生认知规律的阶梯问题，帮助学生自然地总结归纳相关概念。推导公式结论方面推导公式结论方面。如在等差数列前 n 项和的公式推导时，都是依托于经典问题 “1+2+3+100=?” ，并介绍高斯 10 岁时便能算出其结果，以激发学生的求解热情，继而引导学生在领会高斯算法的基础上，发现等差数列的对称性质，从而得到等差数列求和的方法。但课标本教材更加深远的看到了这一求和过程的方法论意义，推广到了一般情况下数列求和的重要方法倒序相加法
12、。（2 2）数学思想方法的渗透维度）数学思想方法的渗透维度函数思想。函数思想。函数思想的渗透，两种版本都较为重视，都设计了相关例题阐释说明。所不同的是课标本教材中对函数维度认识数列的要求更加明确具体，例如在等差数列的前n 项和公式教学中，人教 A 版必修 5 中明确设计了探究环节，揭示其与一元二次函数之间的联系。算法思想。算法思想。运算是高中数学的一条主线，运用算法思想，可以总结提炼出同类问题的通用解法。新课标本教材在设计中着力于基本算理的介绍和算法思想贯穿始末的运用，必修 5 中 2.4 等比数列一节例 2 和 2.5 等比数列前 n 项和公式一节例 3 就是算法思想在数列问题中的融合。（3
13、 3）实际应用维度）实际应用维度大纲本中对于概念的引入也是依托于实际问题背景的，但相比之下，大纲本的问题背景信息量小且远离学生生活实际。课标本则是从问题的引入到公式的练习使用，再到课后习题，还有阅读和探究等环节，都是琳琅满目的、充满生活气息的实际问题。这种设计让学生真正感受到数学源自生活，服务于生活的特征，真正体会到数学的工具价值，并逐渐培养学生善于从身边发现问题，借助所学知识解决问题的探究意识，从而增强学生学习数学的兴趣。同时，个别问题由于实际背景信息量太大（如探究与发现内容）或运算量较大（如部分课后习题） ，学生受困于信息处理和数据加工，反而影响了数列知识的理解，笔者窃以为是新课标本教材应
14、该避免的问题。值得一提的是，大纲本中数列一章的内容安排在第一册（上）第三章，学生刚刚经历了函数学习，进入数列模块后，比较容易理解数列的函数特性。而课标本将数列模块的学习设计在必修 5 第 2 章，学生的认知有了阶梯递进，随着其它模块知识的积累，更有利于数列知识的学习，所以两种编排方式各有优点。同时，新课标本教材删除了原本安排在大纲本教材选修部分的数列极限相关知识。由于极限知识的缺失，影响了一些函数性质的理解以及函数值域问题的解决，致使中学教学中常常额外增加相关知识的教学，这一点应该是课标本教材的一项失误。4.24.2 横向对比横向对比新课程改革，打破了原来“大纲”时代一本统天下的僵局，实现了一
15、纲多本，自主选择的良性局面。这些版本特点各异，内容也有若干差异。（1 1）人教）人教 A A、B B 版的对比版的对比人教 B 版相较于 A 版，设计了“数列的递推公式”一节内容。递推公式体现了数列的递推性质，是数列内在性质的重要维度，人教 A 版教材也有提及但并不深入。需要强调的是，由于全国高考 2 卷中数列的考察往往会涉及数列递推公式问题，因此在实际操作层面，数列递推公式的教学已经成为重点内容。这一安排应该是人教 B 版较为成功的一面。同时，在章末的阅读与欣赏环节，人教 B 版设计了“级数趣题”和“无穷与悖论” 。相较于 A 版的阅读内容“斐波那契数列”和“九连环” 。A 版注重实际应用和
16、数学文化，B版注重知识的深度和学术性，各有所长。（2 2）人教）人教 A A 版与北师大版的对比版与北师大版的对比北师大版数列模块设计在必修 5 第 1 章。与人教 A 版对比，北师大版单独设置了“数列的函数特性”一节，着重阐释了从函数角度出发来研究数列，突出了函数主线和函数的工具性作用。同时，单独设置了“数列在经济生活中的应用”一节内容，更加强调了数列的应用价值。还需一提的有，笔者因缘际会的得到过一套全国校本课程建设先驱与佼佼者北京十一学校的自编教材，数列一章内容更加注重数列的函数特性和基于函数思想的数列问题解决，同时对数列的极限另辟一章单独说明。博采众长，多方借鉴。我们可以得到这样一个结论，数列模块的教学，要依托于函数知识的学习，重视数列的函数特性阐释和函数视
