《世纪金榜二轮专题辅导与练习专题四 第二讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《世纪金榜二轮专题辅导与练习专题四 第二讲（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 数列的通项与求和,必记公式 1.“基本数列”的通项公式： (1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是an=_. (2)数列1,2,3,4,的通项公式是an=_. (3)数列3,5,7,9,的通项公式是an=_. (4)数列2,4,6,8,的通项公式是an=_.,(-1)n,n,2n+1,2n,(5)数列1,2,4,8,的通项公式是an=_. (6)数列1,4,9,16,的通项公式是an=_. (7)数列1,3,6,10,的通项公式是an= . (8)数列 的通项公式是an= .,2n-1,n2,2.常用的拆项公式： (1) (2) (3) (4)若等差数列an的公差为d,则 =,(5)
2、 (6) (7) (8)nn!=(n+1)!-n!.,1.(2013新课标全国卷改编)设首项为1，公比为 的等比 数列an的前n项和为Sn，则Sn=_. 【解析】因为等比数列的首项为1，公比为 Sn= = 所以Sn=3-2an.答案：3-2an,2.(2013玉溪模拟)数列an的通项公式是 若 前n项和为10，则项数n为_. 【解析】由 所以a1+a2+an 即 即 解得n+1=121,n=120. 答案：120,3.(2013启东模拟)对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的 切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列 的前n项和的公 式Sn=_. 【解析】切线的斜率k=n2n-1-(n+
3、1)2n, 切线方程为y+2n=n2n-1-(n+1)2n(x-2), 令x=0,得an=(n+1)2n+1-n2n-2n=(n+1)2n, 所以 =2n,前n项和Sn=2n+1-2. 答案：2n+1-2,4.(2013重庆模拟)化简Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+2 2n-2+2n-1的结果是_. 【解析】因为Sn=n+(n-1)2+(n-2)22+22n-2+2n-1, 2Sn=2n+(n-1)22+(n-2)23+22n-1+2n, 两式作差,得到Sn=-n+(2+22+2n-1)+2n, 化简得到正确答案. 答案：2n+1-n-2,5.(2013盐城模拟)等差数列an的公差为d
4、,关于x的不等式0的解集为0,22,则使数列an的前n 项和Sn最大的正整数n的值是_.,【解析】由题意可知，d 因此an从第12项开始an0,a9=b4q2,4q2=16,q=2, 1+2+3+9=45,故a50是数阵中第10行第5个数, 则a50=b10q4=1024=160.,(2)因为 所以 = = =,令f(x)= (x1), f(x)= 当x1时,f(x)0,f(x)在1,+)上为减函数, 所以Tn为递减数列,Tn的最大值为T1= 所以不等式变为t2-2mt-30恒成立， 设g(m)=-2tm+t2-3,m-1,1, 则 即 解得t3或t-3,【方法总结】裂项相消法求和应注意的问题
5、 (1)通项公式形如 (其中a,b1,b2,c为常数) 用裂项相消法. (2)裂项时要保证裂项前后相等,为此可通过通分检验裂项的正 确性.,【变式训练】(2013南京模拟)设an是正数数列，其前n项 和Sn满足 (1)求数列an的通项公式. (2)令bn= 试求数列bn的前n项和Tn.,【解析】(1)由a1=S1= (a1-1)(a1+3)及an0得a1=3. 由Sn= (an-1)(an+3),得Sn-1= (an-1-1)(an-1+3). 所以当n2时，an=Sn-Sn-1= (an-1)(an+3)- (an-1-1)(an-1+3) = (an2-an-12)+2(an-an-1).
6、 整理,得2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1). 因为an+an-10，所以an-an-1=2，即an是以3为首项、公差 为2的等差数列，于是an=2n+1.,(2)因为an=2n+1，所以Sn=n(n+2),bn=,热点考向 3 错位相减法求和 【典例3】(2013济南模拟)已知数列an满足a1=3，an+1-3an= 3n(nN*)，数列bn满足 (1)证明数列bn是等差数列并求数列bn的通项公式. (2)求数列an的前n项和Sn. 【解题探究】 (1)要证明数列bn是等差数列只需证明:_. (2)数列an的通项公式是: an=_=_, 根据通项公式的结构特点,可用_
7、法求Sn.,bn+1bn=常数,3nbn,(n+2)3n-1,错位相减,【解析】(1)由 得 所以 所以数列bn是等差数列，首项b1=1，公差为 所以,(2)an=3nbn=(n+2)3n-1, 所以Sn=a1+a2+an =31+43+(n+2)3n-1 所以3Sn=33+432+(n+2)3n -得 -2Sn=31+3+32+3n-1-(n+2)3n =2+1+3+32+3n-1-(n+2)3n = 所以,【方法总结】错位相减法求和应注意的问题 (1)通项公式形如 (其中k1,b1,k2,b2,q为常 数)，用错位相减法. (2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+1项中 的前n
8、项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注 意要讨论代数式是否为零.,【变式训练】(2013山东高考)设等差数列an的前n项和 为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1. (1)求数列an的通项公式. (2)设数列bn的前n项和为Tn，且 = (为常 数)，令cn=b2n(nN*)求数列cn的前n项和Rn,【解析】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d， 由S4=4S2,a2n=2an+1得解得a1=1,d=2， 因此an=2n1,nN*.,(2)由题意知 所以n2时， bn=TnTn1= 故cn=b2n= 所以 则,两式相减得整理得 所以数列cn的前n项和Rn=,【典例】已知数列an满足：a1=1,a2= 且3+(-1)nan+2- 2an+2(-1)n-1=0,nN*. (1)求a3,a4,a5,a6的值及数列an的通项公式. (2)设bn=a2n-1a2n-(-1)nln a2n，求数列bn的前n项和Sn,
