离散傅立叶变换

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1、第3章 离散傅里叶变换（DFT）,蒋明峰 浙江理工大学,3.1四种不同傅里叶变换对,傅里叶级数(FS)：连续时间 , 离散频率的傅里叶变换 。 连续傅里叶变换(FT)：连续时间 , 连续频率的傅里叶 变换 。 序列的傅里叶变换(DTFT):离散时间 , 连续频率的傅里叶变换. 离散傅里叶变换(DFT):离散时间 , 离散频率的傅里叶 变换,1.连 续 傅 里 叶 变 换(FT),非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。,例子,这以下变换对可以看出时域 连 续 函 数 造成频域是非周期的谱 , 而是时域的非周期造成频域是连续的谱 .,2.傅 里 叶 级 数(FS)

2、,周期连续时间信号 非周期离散频谱密度函数。周期为Tp的周期性连续时间函数 x(t) 可展成傅里叶级数X(jk0) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为:,FS,例子,通过以下 变 换 对 可 以 看 出 时 域 的 连 续 函 数 造 成 频 域 是 非 周 期 的 频 谱 函 数 , 而 频 域 的 离 散 频 谱 就 与 时 域 的 周 期 时 间 函 数 对 应 . (频域采样，时域周期延 拓),3.序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT),非周期离散的时间信号(经过单位园上的Z变换(DTFT)得到周期性连续的频率函数。,这里的是数字频率,它和模拟角频率的关系为: =T。,如果把序列看

3、成模拟信号的抽样，抽样时间间隔为T,抽样频率为fs=1/T,s=2/T,代入x(n)= x(nT)，=T，则这一变换对可写成,同样可看出,时域的离散造成频率的周期延拓,而时域的非周期对应于频率的连续。,4.离散傅里叶变换(DFT),上面讨论的三种傅里叶变换对 ,都不适用在计算机上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 , 函 数 是 连 续 的 . 因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况, 这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换. 周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性

4、离散的。也即我们所希望的。,DFT的变换,总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。,四种付里叶变换形式的归纳,可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。,3.3 离散傅里叶级数(DFS)及性质,1.周期序列的离散傅里叶级数,若离散时间序列x(n)为周期序列，则一定满足：x(n)=x(n+rN) 其中N（正整数)为信号的周期，r为任意整数。为了和非 周期序列区分，周期序列记作：,因为周期序列不是绝对可和，因此周期序列不能用傅 里叶变换来表示，但是周期序列可以用傅里叶级数(DFS) 来表示，傅里

5、叶级数(DFS)定义为：,其中 为周期序列傅里叶级数的系数，其大小为,为了书写方便，常令符号,这样周期序列的傅里叶变换对可以写为：,正变换：,反变换：,例 3-4 设 ，将 以N=10为周期作周期延拓， 得到周期信号 ，求 的DFS。,解：,3.4 周期序列的傅里叶级数的性质,(1)线性,如果,则有,(2)移位,则有：,如果,(3)调制特性,设 是周期为N的周期序列，则,(4)周期卷积和,若,则有：,记作：,证,代入,得,将变量进行简单换元，即可得等价的表示式,周期卷积亦是一个卷积公式， 但是它与非周期序列的线性卷积不同。 首先， 和 （或 和 都是变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周期为

6、N的周期序列; 其次，求和只在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。,周期卷积的过程可以用图6-7来说明，这是一个N=7 的周期卷积。每一个周期里 有一个宽度为4的矩形脉冲， 有一个宽度为3的矩形脉冲，图中画出了对应于n=0, 1, 2 时的 。周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-1区间内进行， 即在一个周期内将 与 逐点相乘后求和，先计算出n=0, 1, , N-1的结果，然后将所得结果周期延拓，就得到所求的整个周期序列 。,图 6-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积,图 6-7 两个周期序列（N=7）的周

7、期卷积,图 6-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积,例3-5 两个周期序列N=6序列 和 如图(a),(b)所示，求 他们的卷积和 。,解:,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,(a),(b),-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,m,-N,0,1,2,N-1,N,n,5.周期序列相乘,如果,则,3.5 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT),3.5.1离散傅里叶变换的定义,1.有限长序列与周期序列的性质,设x(n)为有限长序列，长度为

8、N，即x(n)只在n=0,1,N-1有 值，其他值时，x(n)=0。因此，可以把x(n)看作周期为N的 周期序列 的一个周期，即,也可利用矩形序列表示成为,把 看作有限长序列x(n)以N为周期的周期延拓，表示为,通常我们把 的第一个周期n=0,1,N-1定义为主值区间， 称x(n)为 的主值序列。,为了书写方便，将上式简写为,其中， 表示数学上“n对N取余数”，或称为“n对N取模值。,例如：,是周期为N=8的序列，则有,有限长序列的傅里叶变换的定义：,2.有限长序列的离散傅里叶变换(DFT),正变换：,反变换：,例3-6 已知 ，求x(n)的8点DFT和16点DFT,解：N=8时,当N=16时

9、,例3-7,已知 ，求 的N点DFT。,解：,3.5.3 DFT与DTFT及Z变换之间关系,若x(n)是一个有限长序列，长度为N，对x(n)进行Z变换,比较Z变换与DFT，我们看到，当z=W-kN时,即,表明：是Z平面单位圆上幅角为 的点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值。,此外，由于傅里叶变换X(ej)即是单位圆上的Z变换，DFT与序列傅里叶变换的关系为 上式说明X(k)也可以看作DTFT的傅里叶变换X(ej)在区间0, 2上的N点等间隔采样，其采样间隔为N=2/N， 这就是DFT的物理意义。,图 DFT与DTFT、Z变换的关系

10、,3.6 离散傅里叶变换的性质,1 线性,如果序列 和 长度都为N，且,则有：,注意以下两点： （1）如果x1(n)和x2(n)长度皆为N即在0nN-1范围有值,则 的长度也是N； （2）若x1(n)和x2(n)的长度不等,设x1(n)长度为N1， 而x2(n)的长度为N2 ， 则的长度应为N=max(N1, N2)，故DFT必须按长度N计算。例如，若N1 N2， 则取N= N2, 那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变成长度为N2序列，然后都作N2点的DFT。,2 序列的圆周移位性,若设 是 的圆周移位，即,则, 1. 圆周移位的定义一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为,y

11、(n)=x(n+m)NRN(n),我们可以这样来理解上式所表达的圆周移位的含义。首先，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列 ; 再将 加以移位：,然后，再对移位的周期序列 取主值区间（n=0 到N-1）上的序列值，即x(n+m)NRN(n)。所以，一个有限长序列x(n)的圆周移位序列y(n)仍然是一个长度为N的有限长序列，这一过程可用图3-9（a）、（b）、（c）、（d）来表达。从图上可以看出，由于是周期序列的移位，当我们只观察 0nN-1 这一主值区间时，某一采样从该区间的一端移出时， 与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而，可以想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上，序列

12、x(n)的圆周移位， 就相当于x(n)在此圆周上旋转，如图3-9（e）、（f）、(g)所示， 因而称为圆周移位。若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转; 将x(n)向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果围绕圆周观察几圈， 那么看到的就是周期序列 。,图 3-9 圆周移位过程示意图,时域圆周移位定理,设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即则圆周移位后的DFT为,证明 利用周期序列的移位性质加以证明再利用DFS和DFT关系,频域圆周移位定理,对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可

13、以证明以下性质： 若 则,(4.4.16),3. 共轭对称性,设 为 的共轭复序列，则,有限长序列长度为N，则它的圆周共轭对称分量 和圆周共轭反对称分量 分别定义为：,任何有限长序列x(n)都可以表示成圆周共轭对称分量 和 圆周共轭反对称分量 之和，即,则有：,若x(n)实序列， 两边进行离散傅里叶变换则有,若x(n)是纯虚序列，则显然X(k)只有圆周共轭分量， 即满足,5 帕塞瓦尔(Parseval)定理,五、时域循环卷积,设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0nN-1），且有：,若,则,证明 这个卷积相当于周期序列 和作周期卷积后再取其主值序列。先将Y(k)周期延拓， 即 根据DFS的周期卷积公式 由于0mN-1 为主值区间， ， 因此 将 式经过简单换元，即可证明,圆周卷积过程中，求和变量为m, n为参变量。先将x2(m)周期化，形成x2(m)N，再反转形成x2(-m)N，取主值序列则得到x2(-m)NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转。对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成x2(n-m) NRN(m) ，当n=0,1,2,N-1时，分别将x1(m)与x2(n-m) NRN(m)相乘，并在m=0 到N-1 区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。,这一计算过程分5步： (1)周期延拓；(2)折叠；(3)移位和取主值；(4)相乘；(5)相加,