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1、1第一章 量子理论基础11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度mT 成反比，即T=b（常量） ；m并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式， （1）dv echvdkThvvv 11833以及 ， （2）cv ， （3）ddvvv有, 118)()(5 kThcvvehccdcdddv这里的的物理意义是黑体内波长介于 与 +d 之间的辐射能量密度。本题关注的是 取何值时，取得极大值，因此，就得要求 对 的一阶导数为零，由此可求得相应的 的值，记作。但要注意的是，还需要m验证对 的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求
2、m得的就是要求的，具体如下：m0 115 1186 kThc kThc ekThcehc20 115 kThc ekThckThcekThc)1 (5如果令 x= ，则上述方程为kThc xex)1 (5这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的； 另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证， 此解正是所要求的，这样则有xkhcTm把 x 以及三个物理常量代入到上式便知KmTm3109 . 2这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的 峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来 判定
3、温度的高低。12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv，hP 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（） ，那么2cEe动epE22 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量动量关系eV61051. 0式，这样，便有ph3nmmmEchcEhee71. 01071. 031051. 021024. 1229662在这里，利用了meVhc61024. 1以及eVce621051. 0最后，对Echce2
4、2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短， 因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时， 这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏 观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种 波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是（k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦原子的德kTE23布罗意波长。 解 根据，eVKk3101知本题的氦原子的动能为,105 . 123 233eVKkkTE显然远远小于这样，便有2c核Echc22核4nmmm37. 01037.
5、0105 . 1107 . 321024. 19396这里，利用了eVeVc962107 . 3109314核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温 度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意 波长就为TkchcEchc2222据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的 波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相 干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布， 而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。14 利用玻尔索末菲的量子化条件，求： （1）一维
6、谐振子的能量； （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10T，玻尔磁子，试计算运能的量子化124109TJMB间隔E，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。 解 玻尔索末菲的量子化条件为 nhpdq其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是 沿运动轨道积一圈，n 是正整数。 （1）设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为 ，于是有2221 2kxpE这样，便有)21(22kxEp这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正 好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据2 21kxE 可解出 kEx2
7、5这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔索末菲的量子化条 件，有xxxxnhdxkxEdxkxE)21(2)()21(222nhdxkxEdxkxExxxx)21(2)21(222 hndxkxExx2)21(22为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；sin2 kEx 这样，便有hn kEdE2sin2cos2222 222cos2cos2hndkEEhndkE2cos2222这时，令上式左边的积分为 A，此外再构造一个积分222sin2dkEB这样，便有（1） 22222cos2,22dkEBAkEdkEBA2222,cos)2(2cosdkEdkE这里 =2，这样，就有（2）0
8、sindkEBA6根据式（1）和（2） ，便有kEA这样，便有hn kE2khnE 2,knh其中2hh 最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次， 这量子化的能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有BqR2 qBRp这时，玻尔索末菲的量子化条件就为20)(nhRqBRd nhqBR22 nhqBR 2又因为动能耐，所以，有22pE 22)(2222RBqqBRE,22BnBNqnBqBn其中，是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且2qMB7BBME 具体到本题，有JJE232410910910根据动能与温度的关系式kTE23以及Je
9、VKk223106 . 1101可知，当温度 T=4K 时，JJE2222106 . 9106 . 145 . 1当温度 T=100K 时，JJE2022104 . 2106 . 11005 . 1显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。15 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等， 问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？ 解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的 概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去 计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们 不需要用那么高
10、深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对 心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长， 而且，有2chvEe此外，还有hcpcE于是，有2chc e 2chcenmmm31266104 . 2104 . 21051. 01024. 1尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我8们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子 对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种 意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量 是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样
11、，也许就能发现新 粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒 子，新物理。第二章波 函数和薛定谔方程2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令)r () r () r () r (m2ie ) r (e ) r (e ) r (e ) r (m2i)(m2iJ e ) r ( ) t (f ) r () tr (*EtiEti *EtiEti*Eti、可见无关。tJ与2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrerer1)2( 1)1(21从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球12面波。解：分量只有和rJJ21在球坐
12、标中 sinr1er1err09rmrkrmrkrrikrrrikrrmirerrererrermimiJikrikrikrikr30202201* 1* 111)11(1)11(12)1(1)1(12)(2) 1 (同向。表示向外传播的球面波。rJ1、rmrkrmrkr)r1ikr1(r1)r1ikr1(r1m2ir)er1(rer1)er1(rer1m2i)(m2iJ )2(3020220ikrikrikrikr* 2* 222可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。rJ与2补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ikxex )(dxdx*波函数不能按方式归一化。1
13、)(2dxx其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。122.3 一粒子在一维势场 axaxx xU ， 0 00 )(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：无关，是定态问题。其定态 S方程txU与)(10)()()()(2222 xExxUxdxd m在各区域的具体形式为： )()()()(20111222 xExxUxdxd mx： )()(20 22222 xExdxd max： )()()()(2333222 xExxUxdxd max由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须)(xU0)(1x0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为0)(2)(22222 xmE dxxd 令，得222 mEk0)()(22 222 xkdxxd其解为 kxBkxAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件
