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1、 第 1 页 共 9 页第四章第四章 圆与方程圆与方程1、圆的定义：、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心， 定长为圆的半径。 2、圆的方程、圆的方程 （1）标准方程标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；点与圆的位置关系：00(,)M xy222()()xaybr当，点在圆外22 00()()xayb2r当=，点在圆上22 00()()xayb2r当，点在圆内22 00()()xayb2r（2）一般方程一般方程022FEyDxyx当当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为，半径为FEDr42122当当0422
2、FED时，表示一个点；时，表示一个点； 当当0422FED时，方程不表示任何图形。时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用 圆的标准方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心 的位置。的位置。3、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交相离，相切，相交三种情况： （1）设直线
3、0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到 l 的距离为22BACBbAad ，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程， 用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此 点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小 比较来确定。第 2 页 共 9
4、 页设圆22 12 11:rbyaxC，22 22 22:RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来 确定。 当当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；时两圆外离，此时有公切线四条； 当当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当当rRd时，两圆内含；时，两
5、圆内含； 当当0d时，为同心圆。时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点第四章第四章 圆与方程圆与方程 一、选择题一、选择题1若圆 C 的圆心坐标为(2，3)，且圆 C 经过点 M(5，7)，则圆 C 的半径为( )AB5C25D5102过点 A(1，1)，B(1，1)且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是( )A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)243以点(3，4)为圆心，且与 x 轴相切的圆的方程是( )A(x3)2(y4)216 B(x3)2(y
6、4)216 C(x3)2(y4)29 D(x3)2(y4)219 4若直线 xym0 与圆 x2y2m 相切，则 m 为( )A0 或 2B2CD无解25圆(x1)2(y2)220 在 x 轴上截得的弦长是( )A8B6C6D4236两个圆 C1：x2y22x2y20 与 C2：x2y24x2y10 的位置关系第 3 页 共 9 页为( )A内切B相交C外切D相离7圆 x2y22x50 与圆 x2y22x4y40 的交点为 A，B，则线段 AB的垂直平分线的方程是( )Axy10B2xy10 Cx2y10Dxy108圆 x2y22x0 和圆 x2y24y0 的公切线有且仅有( )A4 条B3
7、条C2 条D1 条9在空间直角坐标系中，已知点 M(a，b，c)，有下列叙述：点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a，b，c)；点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a，b，c)；点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a，b，c)；点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(a，b，c)其中正确的叙述的个数是( )A3B2C1D010空间直角坐标系中，点 A(3，4，0)与点 B(2，1，6)的距离是( )A2B2C9D432186二、填空题二、填空题11圆 x2y22x2y10 上的动点 Q 到直线 3x4y80 距离的最小值为 12圆心在直线 yx 上且与 x 轴相切于
8、点(1，0)的圆的方程为 13以点 C(2，3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 第 4 页 共 9 页14两圆 x2y21 和(x4)2(ya)225 相切，试确定常数 a 的值 15圆心为 C(3，5)，并且与直线 x7y20 相切的圆的方程为 16设圆 x2y24x50 的弦 AB 的中点为 P(3，1)，则直线 AB 的方程是 三、解答题三、解答题17求圆心在原点，且圆周被直线 3x4y150 分成 12 两部分的圆的方程18求过原点，在 x 轴，y 轴上截距分别为 a，b 的圆的方程(ab0)第 5 页 共 9 页19求经过A(4，2)，B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之
9、和是 2 的圆的方程20求经过点(8，3)，并且和直线 x6 与 x10 都相切的圆的方程第 6 页 共 9 页第四章第四章 圆与方程圆与方程 参考答案参考答案一、选择题一、选择题1B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径，5227352)()(2C 解析一：由圆心在直线 xy20 上可以得到 A，C 满足条件，再把 A点坐标(1，1)代入圆方程A 不满足条件选 C解析二：设圆心 C 的坐标为(a，b)，半径为 r，因为圆心 C 在直线 xy20上，b2a由|CA|CB|，得(a1)2(b1)2(a1)2(b1)2，解得 a1，b1因此圆的方程为(x1)2(y1)243B 解析：与 x 轴相
10、切，r4又圆心(3，4)，圆方程为(x3)2(y4)2164B 解析：xym0 与 x2y2m 相切，(0，0)到直线距离等于m，m22mm5A 解析：令 y0，(x1)216 x14，x15，x23弦长|5(3)|86B 解析：由两个圆的方程 C1：(x1)2(y1)24，C2：(x2)2(y1)第 7 页 共 9 页24 可求得圆心距 d(0，4)，r1r22，且 r 1r 2dr 1r2故两圆13相交，选 B7A 解析：对已知圆的方程 x2y22x50，x2y22x4y40，经配方，得(x1)2y26，(x1)2(y2)29圆心分别为 C1(1，0)，C2(1，2)直线 C1C2的方程为
11、 xy108C 解析：将两圆方程分别配方得(x1)2y21 和 x2(y2)24，两圆圆心分别为 O1(1，0)，O2(0，2)，r11，r22，|O1O2|，又222151r2r1r1r23，故两圆相交，所以有两条公切线，应选 C59C 解：错，对选 C10D 解析：利用空间两点间的距离公式二、填空题二、填空题112解析：圆心到直线的距离 d3，动点 Q 到直线距离的最小5843值为 dr31212(x1)2(y1)21解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为 1故所求圆的方程为：(x1)2(y1)2113(x2)2(y3)24解析：因为圆心为(2，3)，且圆与 y 轴相切，所以圆的半
12、径为 2故所求圆的方程为(x2)2(y3)24140 或2解析：当两圆相外切时，由|O1O2|r1r2知6，即5224aa25当两圆相内切时，由|O1O2|r1r2(r1r2)知4，即 a0a224a的值为 0 或25第 8 页 共 9 页15(x3)2(y5)232解析：圆的半径即为圆心到直线 x7y20 的距离；16xy40解析：圆 x2y24x50 的圆心为 C(2，0)，P(3，1)为弦AB 的中点，所以直线 AB 与直线 CP 垂直，即 kABkCP1，解得 kAB1，又直线 AB 过 P(3，1)，则直线方程为 xy40三、解答题三、解答题17x2y236解析：设直线与圆交于 A，
13、B 两点，则AOB120，设所求圆方程为：x2y2r2，则圆心到直线距离为，所5152r以 r6，所求圆方程为 x2y23618x2y2axby0解析：圆过原点，设圆方程为 x2y2DxEy0圆过(a，0)和(0，b)，a2Da0，b2bE0又a0，b0，Da，Eb故所求圆方程为 x2y2axby019x2y22x120解析：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0A，B 两点在圆上，代入方程整理得：D3EF10 4D2EF20 设纵截距为 b1，b2，横截距为 a1，a2在圆的方程中，令 x0 得 y2EyF0，b1b2E；令 y0 得 x2DxF0，a1a2D由已知有DE2联立方程组得 D2，E0，F12O xyABr524- -2- -4- -5第 17 题O xyABr524- -2- -4- -5O xyABr524- -2- -4- -5第 17 题第 9 页 共 9 页所以圆的方程为 x2y22x12020解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2根据题意：r2，圆心的横坐标 a628，2610 所以圆的方程可化为：(x8)2(yb)24又因为圆过(8，3)点，所以(88)2(3b)24，解得 b5 或 b1，所求圆的方程为(x8)2(y5)24 或(x8)2(y1)24
