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1、 1二次函数的图象和性质（培优教案）二次函数的图象和性质（培优教案）一课前训练一课前训练1已知抛物线上一部分点的横坐标与纵坐标的对应值2yaxbxcxy 如表所示，则下列说法中正确的是 。 （填写序号） x21012 y04664抛物线与轴的一个交点为；x3 0，函数的最大值为 6；2yaxbxc抛物线的对称轴是直线；1 2x 在对称轴的左侧，随的增大而增大。yx2若二次函数的图象如图所示，20yaxbxc a则下列结论中正确的个数是( )；。240bac0abc80ac 930abc A.1 B.2 C.3 D.4二知识结构二知识结构22 21204()024 ()()0yaxbxc aba
2、cbya xaaa ya xxxxa 定义一般式：二次函数解析式顶点式：交点式：图象 开口方向、对称轴、顶点坐标增减性、最值性质2 24000000ayaby yaxbxcbacxacyCcccycyCc 开口方向同号对称轴在轴的左侧、异号对称轴在轴的右侧与轴的交点个数与轴交于正半轴的点，与轴交于原点与轴交于负半轴的点，三三题型讲练题型讲练例例 1 1已知抛物线。2yxxm 写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标； 当为何值时，抛物线的顶点在轴上方；mx 过抛物线与轴的交点作直线轴，交抛物线于另一点，yAABxB 当时，求此抛物线的解析式。4AOBS分析：考察配方法；欲使抛物线顶点在轴上方，必使顶
3、点纵坐标为正；x 由直线轴可知两点的纵坐标相等，进而可以求出值。ABxA B、m【解】在中，二次项系数，开口向上，2yxxm1 0220.50.25yxxmxm对称轴是直线，顶点坐标为。0.5x 0.50.25m，欲使抛物线的顶点在轴上方，必使顶点的纵坐标为正数，x 令，则，此时抛物线的顶点在轴上方0.25 0m0.25mx令，则，抛物线与轴交于点0x ym2yxxmy 0Am，直线轴，。ABxBAyym令，则，解得，ym2xxmm10x 21x 1Bm，在中，Rt AOB，0 11ABABxx0AOAxmyxO1x 122，142AOBSOA ABA1142m 8m 抛物线的解析式为或。28
4、yxx28yxx 练习：练习：1右图是二次函数在平面直角坐标系中20yaxbxc a的图象，则下列结论中正确的是（填写序号） 。；0c0abc 20ab 284baac2若抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线242myxxx1 0，与轴的另一个交点的坐标为 。x3如图，抛物线经过点，与轴交于两点。cxy2 21932D，xA B、求的值；c 如图，设点为该抛物线在轴上方的一点，若直线将四边形CxAC 的面积二等分，试证明线段被直线平分并求此时直线ABCDBDAC 的函数解析式；AC 设点是该抛物线在轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样P Q、x的点使得？若存在，请举例验证你的猜想；若不P
5、 Q、AQPABP 存在，请说明理由。 （图供选用）【解】抛物线经过点，932D，。219322c 6c 作于点，作于点，设与交于点BEACEDFACFACBD M 直线将四边形的面积二等分，ACABCD，即，ACBACDSS11 22AC BEAC DFAABEDF，BMEDMF90BEMDFMBEDF ，线段被直线平分BMEDMFBMDMBDAC由知，抛物线的解析式为6c 2162yx 令，则，0y 2 3x 2 3 0A ，2 3 0B，4 3AB ，点是线段的中点，BMDMMBD，2 333 22Mx 9092 24My 3 9 24M ，设直线的解析式为，ACykxb3直线经过点和点
6、AC2 3 0A ，3 9 24M ，直线的解析式为3 32 30 10399 245kbkkbbAC591033xy存在。设抛物线的顶点为，0 6N，在中，Rt AON22222 364 3ANOAONAB以点为圆心、为半径作圆，与抛物线在轴的上方A4 3AB x一定有交点（即点） ，连接，再作的平分线QNAQQAB，交抛物线于点，连接，此时由得APPBP PQ、SAS。AQPABP例例 2 2已知抛物线与轴交于 2424yxmxm x1200A xB x，、，两点，其中且，与轴交于点。12xx1220xxyC求抛物线的解析式； 能否找到直线与抛物线交于两点且使轴恰好平分ykxbP Q、y的
7、面积？若能，求出满足的条件；若不能，说明理由。CPQk b、【解】令，则有，0y 24240xmxm 2244124320mmm 对于一切实数m，抛物线与轴恒有两个交点，x 由根与系数的关系得，124xxm1224x xm 把代入得，1220xx24xm把代入得，1220xx128xm把、代入得1224x xm 28424mmm 化简整理得，解得，。29140mm12m 27m 当时，与相符；12m 1242xx ，12xx当时，与不符(舍去)27m 1263xx ，12xx抛物线的解析式为。228yxx 能，理由如下（如图）： 假设符合题意的直线与轴交于点，ykxbyD，即，CDPCDQSS
8、11 22PQCD xCD xAAPQxx由题意知两点必在轴的两侧，即P Q、yPQxx 0PQxx由得（*）228ykxbyxx 2280xkxb一定是方程(*)的两根，PQxx、20PQxxk 2k 直线与抛物线有两个交点ykxb228yxx ，即，解得022480kb8b且为所求。2k 8b 练习：练习：1已知抛物线与轴分别交于两点2211ykxkxx1200A xB x，、，(其中)，则下列结论中正确的是 （只需填写序号） 。12xx当时，；当时，；方程2x 1y 2xx0y有两个不相等的实数根；，22110kxkx 12xx、11x；。21x2211 4kxxk42已知直线与轴交于点
9、，与轴交于点；另一条02bbxyxAyB抛物线的解析式为。cxbxy102若该抛物线经过点且抛物线的顶点在直线上，试确定BPbxy 2 抛物线的解析式； 过点作直线，交轴于点，若抛物线的对称轴经过点，BBCABxCC 试确定直线的解析式。bxy 2例例 3 3如图，直线与抛物线交于点和点（点在轴上）mxy3 4A，BBy，点是抛物线的顶点。1 0C，求的值及抛物线的解析式；m 过线段上的动点（与不重合）作轴的垂线，与抛物线ABPA B、x交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之EPEhPxhx 间的函数关系式并写出自变量的取值范围；x 设点是直线与抛物线对称轴的交点，则在线段上是否存DABA
10、B在一点使得四边形是平行四边形？若存在，求出此时点PDCEP 的坐标；若不存在，说明理由。P【解】点在直线上3 4A，mxy，有直线 43m1m 1yx点是抛物线的顶点1 0C，设所求抛物线的解析式为21ya x点在抛物线上3 4A，21ya x，所求抛物线的解析式为243 1aA1a 21yx设两点的纵坐标分别为和，则：P E、PyEy（其中） 22113pEhPEyyxxxx 03x存在，理由如下： ，欲使四边形是平行四边形，必使PEDCDCEPPEDC 点在直线上且，令，则D1yx1DCxx1x 2y ，1 2D，202DCDCyy2hPEDC令，即，解得(不合题意，舍去)，2h 232
11、xx11x 22x 点在直线上，令，则，P1yx2x 3y 2 3P，当点的坐标为时，四边形是平行四边形。P2 3，DCEP练习：练习：1已知抛物线。22yxmxm 若抛物线与轴的交点分别在原点的两侧且，求的值；xA B、5AB m设抛物线与轴交于点，若抛物线上存在关于原点对称的两点yC5使得的面积等于，求的值。M N、CMN27m解:设两点的坐标分别为、，A B、10A x ，20B x ，则分别是方程的两根。12xx、220xmxm由根与系数的关系知，12xxm122x xm两点分别在原点两侧，即，A B、120x x 20m 2m222 1212121 24425ABxxxxxxx xm
12、m，解得，(与矛盾，舍去)2430mm11m 23m 2m的值为 。m1 两点关于原点对称M N、设两点的坐标分别为M N、M a bNab，、，两点都在抛物线上M N、22yxmxm 2222amambamamb ：，22240am22am当时才存在满足条件的两点，2mM N、2am 两点到轴的距离均为M N、y2m两点之间的水平距离为M N、2 2m令，则，点的坐标为，0x 2ymC0 2m， 2OCm112 222 2222722CMNSOCmmmmmA，解得29m7m 2已知抛物线恰好经过轴正半轴上的两点20yaxbxc axA B、(点在点的左侧)且与轴交于点。AByC 的符号之间有何关系？a c、若线段的长度是线段长度的比例中项，证明互为倒数；OCOA OB、a c、在的条件下，若且，求的值。4b 4 3AB a c、解:时抛物线开口向上，由题意知此时抛物线与轴正半轴相交；0ay0c时抛物线开口向下，由题意知此时抛物线与轴负半轴相交；0ay0c综上所述，的符号之间的关系是：同号。a c、a c、设两点的坐标分别为、，其中。A B、10A x ，20B x ，210xx，。1xOA2xOB cOC 由题意知是方程的两根，12xx、200axbxca12cx xaA由题意知，即，2OA OBOCA2 12x xcA22ccc
