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1、第四章 随机变量的数字特征, 1 数学期望 2 方差 3 几种重要随机变量的数学期望和方差 4 协方差及相关系数 5 矩,退 出,前一页,后一页,目 录,数学期望的定义,随机变量函数的数学期望,数学期望的性质,1 数学期望,第四章 随机变量的数字特征,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例1,解：,平均成绩为：,若用X表示成绩，则,退 出,前一页,后一页,目 录,一、数学期望定义,1） 离散型,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设离散型随机变量X的分布律为：,若级数 绝对收敛，则称随机变量 X 的数学期望存在，记作 EX，,且,数学期望也称为均值。
2、,退 出,前一页,后一页,目 录,2）连续型,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设连续型随机变量X的概率密度为 ，,若积分 绝对收敛，则称积分的值为X的数学期望。,记为,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例2,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,例3,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,例 4,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,此例说明了数学期望更完整地刻化了X 的均值状态。,设离散型随机变量 X 的分布律为：,设离散型随机变量X的
3、分布律为：,退 出,前一页,后一页,目 录,例 5,第四章 随机变量的数字特征,按规定，火车站每天8:009:00, 9:0010:00都恰 有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且 两者到站的时间相互独立，其规律为：,(1) 旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。,(2) 旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,解：,X 10 30 50,P 1/6 3/6 2/6,(1) 旅客8：00到达,（2）旅客8：20到达,X 的分布率为,X 的分布率为,X 10 30 50 70 90,P 3/6 2/
4、6 (1/6) (1/6) (3/6) (1/6) (2/6) (1/6),设旅客的候车时间为X（以分记）,退 出,前一页,后一页,目 录,例6,已知,求：,解：,二、随机变量函数的数学期望,定理 1：,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，,(2)若 X 的概率密度为 f ( x )，,（1）若 X 的分布率为,退 出,前一页,后一页,目 录,定理 2：,第四章 随机变量的数字特征,若(X, Y)是二维随机变量，,(1) 若 ( X, Y ) 的分布律为,(2) 若(X ,Y)的概率密度为 f ( x , y ) ，且,g ( x ,
5、y) 是二元连续函数，,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,解：,例 6,设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴, y 轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求EX， E(-3X+2Y)，EXY。,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,例7 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 是随机变量 X（吨），X U2000,4000，每售出这 种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出 而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要 组织多少货源，才能使国家收益最大。,设 y 为预备出口的该商品的数量，则,用 Z
6、 表示国家的收益（万元）,解：,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,下面求 EZ，并求 y 使 EZ 达到最大 值，,即，组织3500吨此种商品是最佳的决策。,例8(续）,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,三、数学期望的性质,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,例 8,第四章 随机变量的数字特征,对N个人进行验血，有两种方案：,（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其 中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是 k的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都 是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如 果
7、混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份 血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次;,（1）对每人的血液逐个化验，共需 N 次化验；,退 出,前一页,后一页,目 录,假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p，且各 次化验结果是相互独立的。,试说明适当选取 k 可使第二个方案减少化验次数。,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,解：设 X 表示第二个方案下的总化验次数，,表示第 i 个组的化验次数，则,例 8 （续）,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,只要选 k 使,即,就可使第二个方案减少化验次数；,当q已知时，,退 出,前一页,后一页,目 录,
8、第四章 随机变量的数字特征,例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明k=4可使最小；这时，,工作量将减少40%.,1 数学期望,就可使化验次数最少。,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,例9一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客 有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客 下车就不停车。以X表示停车的次数。求EX（设 每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立）。,解：,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,例10 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批 产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n 件仍未 发现废品
9、则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。,解：,设X为停止检查时，抽样的件数，,则 X 的可能取值为1, 2, , n，且,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,某工厂的自动生产线加工的某零件的内径 X （单位：mm）服从 规定该零件的内径小于10 mm或大于12 mm时为不合格品，其余的情形为合格品。又已知该零件的销售利润 Y 与 X 有如下关系：,思考题：,问零件的平均内径 取什么值时，销售一个零件的平均利润最大？,退 出,前一页,后一页,目 录,第四章 随机变量的数字特征,1 数学期望,本节小结：,1）数学期望的定义。,2）随机变量函数的数学期望。,3）数学期望的性质。,退 出,前一页,后一页,目 录,
