斐波那契与《算盘书》

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1、16.2斐波那契与算盘书,制作人：绪绍玲 1020510127 10级数转本2班,16.2斐波那契与算盘书,一、“生兔子问题”斐波那契数列的由来,斐波那契（Fibonacci,约1170约1250），13世纪意大利著名的数学家，生于比萨，早年随父亲经商，到北非的布日伊（Bougie）受教育，从一位阿拉伯教师学习计算，掌握了印度数码这一新的技术体系，后游历到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地，掌握了不同国家和地区的商业算数体系。1200年左右回比萨，潜心研究，于1202年写成名著算盘书。斐波那契被誉为点燃西方文艺复兴之火的第一个伟大的数学家，使西方数学开始进入一个新时期。除了算盘书外，他的其他

2、著作还有实用几何（1220）、平方数书（1225），前者以欧几里得式的严谨和某种独创性熟练地处理了大量的几何学和三角学的问题；后者专论二次丢番图方程，也包括个别三次方程的求解，是当时数论的名作。,算盘书,这部著作共15章，主要介绍算术和代数，内容非常丰富，包括印度-阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数的计算；平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法；数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用等。该书广为流传，为印度-阿拉伯数码在欧洲的传播起了重要作用。,“生兔问题”,算盘书在128年的修订本中增加了脍炙人口的“生兔问题”，也称“斐波那契问题”：“一对小兔子（雌雄各一），过一个月就长成

3、一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子，若照此生下去，且无死亡，问一年后应有多少对兔子？”这是一个算术问题，但是通常的算术公式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，先写出第1月到第12月的情形，如下表,后人为纪念提出兔子繁殖问题的斐波那契，将这个数列 称为斐波那契数列，斐波那契数列的各项，满足 。这个数列的每一项都叫斐波那契数。可设 ，按照上述递推关系，不难先算出 ，也即满一年时，一对刚出生的兔子便变成144对兔子。当然，这只是假想的情况。如果真以这样的速度繁殖的话，世界将是不堪设想的！,二、斐波那契数列的有趣性质,斐波那契数列有许多好的性质，例如： 性质（1）：与黄金分割的

4、关系：,由 ，有 ，令 ，则 事实上 ， 它的渐进分为 ，其中分子、分母都是斐波 那契数列的各项。,性质（2）：由法国敏基（1786-1856）首次发现了斐波那契数列的通项公式：,，其中,斐波那契数列与黄金分割的典型关系还有：,黄金分割数 G位于 与 之间，且更靠近于后者。,对于 ，也可以用数学归纳法证明。,证明,1. n=1时， ，等式成立。n=2时， ，等式成立。,2. 假设对一切kn成立，将归纳假设用于可得：,证毕。,性质（3）： 与 互素,性质（4）：,性质（5）：任意两个连续的斐波那契数的平方和、差：,性质（6）：,性质（7）：对于任意两个相继的斐波那契数A,B,C,D,有,性质（8

5、）：这个结果可能是十分意外的。因为斐波那契数列都是正整数数列，而（6）式却是用无理数 来表达。如果n=1,2,3, 代入（6）式，就会发现所有的 都相互抵消。,性质（9)： 用一个固定的正整数除所有的各项，余数都有周期性的变化规律。比如用4除后，余数：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,0,1,1,2,3,0 ， 用3除后，余数：1，1，2，0，2,2,1,0,1，1，2,0,2，2，,性质（10）：每第三个数可被2整除，每第四个数可被3整除，每第四个数可被3整除，每第五个数可被5整除，每第六个数可被8整除，等等。这些除数本身也构成斐波那契数列。,性质（11）：法国数学家鲁卡斯（Lucas

6、) 也构造了一个与斐波那契数列相类似的数列：1,3,4,7,11,28,47,76，,运用递推公式可得鲁卡斯数列的通解： 由 得：解得 。故鲁卡斯数列 的通项公式为：,鲁卡斯数列 与斐波那契数列有相同的性质，且有： 。而鲁卡斯数列 的一般项也有公式类似的结果。,在解微分方程中也会类似地利用上述介绍的求解递推方程的方法。鲁卡斯还把斐波那契数列用于研究素数的分布，得到一些有价值的结果。,由于斐波那契数列是一个十分奇特的数列，在18世纪创立的循环数理论中，斐波那契数列数列成了主要的内容。1963年成立了斐波那契协会，美国专门出版了一份季刊斐波那契季刊，专门登载有关这个数列性质的最新发展，尽管斐波那契数列的通项公式和关于斐波那契数列的一系列成果是后人得到的，但我们应该承认，这些数学成果都起因于斐波那契数列在算盘书中的“生兔子问题”。,我们见过的：,谢谢指导!,