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1、2018/10/16,第五章 频率法 1,第5章 频率法,频域分析法:Frequency Domain Response Analysis,用频率响应来分析系统的方法。,2018/10/16,第五章 频率法 2,5.5 奈奎斯特稳定判据及其应用,用开环系统的频率特性来分析（或判定）闭环系统 的稳定性。,本节任务：,闭环系统稳定的充要条件：,所有闭环极点位于S平面左半面。,判定闭环系统稳定性的方法：,劳斯判据、根轨迹、1932年奈奎斯特给出奈氏判据。,闭环系统特征方程：,2018/10/16,第五章 频率法 3,1. 映射定理,：找到S平面和F(S) 平面的关系。,目的,围线映射的知识补充：,围
2、线映射：是指在一平面内一条封闭的围线，通过 一个复变函数映射到另一个平面，从而建立起两个 平面之间的关系。,2018/10/16,第五章 频率法 4,S 平面,F(S)平面,A,B,C,D,A,B,C,D,自变量的取值区间,函数F(S)的取值区间,2018/10/16,第五章 频率法 5,S 平面,F(S)平面,-P1,-P2,-Z2,-Z1,结论：s平面上顺时针包围一个F(s)的零点时，对应F(s)平面上顺时针包围原点一圈。,顺时针为正！ 逆时针为负！ 不经过任何零极点！,F,s,s,F,2018/10/16,第五章 频率法 6,S 平面,F(S)平面,-P1,-P2,-Z2,-Z1,结论：
3、s平面上顺时针包围一个F(s)的极点时，对应F(s)平面上逆时针包围原点一圈。,s,F,2018/10/16,第五章 频率法 7,S 平面,F(S)平面,-P1,-P2,-Z2,-Z1,S,F,2018/10/16,第五章 频率法 8,映射定理：,在S平面上如有一封闭曲线包围F(S)的P个极点， Z个零点，且不经过任何零点和极点，则在F(S)平面 上必有一封闭的曲线逆时针包围原点N圈，且有N=P-Z,式中： P-在s平面上封闭曲线顺时针包围F(s)的极点个数。 Z-在s平面上封闭曲线顺时针包围F(s)的零点个数。,2018/10/16,第五章 频率法 9,2. 奈奎斯特稳定判据的基本原理,开环
4、传递函数：,闭环传递函数：,闭环特征方程：,2018/10/16,第五章 频率法 10,引入辅助函数,1、F(s) 的极点即为开环系统的极点，个数用P表示。,2、F(s) 的零点即为闭环系统的极点，个数用Z表示。,闭环稳定条件,F函数在右半S平面零点个数Z=0。,F函数的分子是闭环传递函数的分母； F函数的分母是开环传递函数的分母。,结论：,2018/10/16,第五章 频率法 11,若已知P, N即可计算出Z!,3. 奈氏路径及其映射,为判定闭环系统稳定性，在s平面上所取的闭合路径应包含整个右半S平面。这样F(s)所有右半s平面上的零极点都将包含在这个闭合路径内。 闭合路径方向是顺时针(如图
5、)。该闭环路径称为奈氏路径。,假设：,奈氏路径不通过任何F(s)的零点或极点。,闭环稳定条件,F函数在右半S平面零点个数Z=0。,2018/10/16,第五章 频率法 12,0,Im,1,Re,F(s)=1+Wk(s),设奈氏路径中包含P个F(s)的极点（即开环在右半s平 面有P个极点）；对应F(s)包围原点的圈数围N。,由映射定理有： Z=P-N,已知P,N即可计算出Z！,2018/10/16,第五章 频率法 13,映射：,指F(s)平面与Wk(s)平面之间的关系。,0,j,Wk(s),F(s)=1+Wk(s),=0,=,=0,=,=-,=-,N=P-Z,N=F(s)包围原点的圈数Wk(s)
6、包围(-1,j0)点的圈数,结论：,2018/10/16,第五章 频率法 14,Z=P-N,4. 奈奎斯特稳定判据,其中： Z是闭环系统在右半S平面极点的个数； N为奈氏曲线包围（-1,j0）点的圈数（逆时针为正）; P是开环系统在右半S平面极点的个数。,奈氏稳定判据一,如果开环系统是稳定的，即 P=0 那么闭环系统稳定的充要条件是：当由时，开环频率特性(j)的奈氏曲线不包围（-1,j0）点。,2018/10/16,第五章 频率法 15,奈氏稳定判据二,如果开环系统是不稳定的，且已知有P个开环极点在 s右半平面上，则闭环系统稳定的充要条件是：当 由-时，（j）的奈氏曲线应逆时针围绕 （-1,
7、j0）点转N=P 圈。否则闭环系统是不稳定的。,应用奈氏稳定判据判定稳定性的步骤：,1、已知P值； 2、绘制开环系统的奈氏曲线（j）； 3、由开环奈氏曲线求得N； 4、检验Z=P-N是否为零。,2018/10/16,第五章 频率法 16,例5.1 系统开环传递函数为,试用奈氏判据判定闭环系统稳定性。,解： 开环系统稳定P =0,P184,5-6 b,c,g,h,2018/10/16,第五章 频率法 17,例5.2 系统开环传递函数为,试用奈氏判据判定闭环系统稳定性。,解：开环系统不稳定 P =1,非最小相位系统， 右半面有一极点,2018/10/16,第五章 频率法 18,作业 绿皮书：P18
8、4, 5-5，5-6 b,c,g,h 红皮书：P267,5-11，5-12 b,c,g,h,2018/10/16,第五章 频率法 19,例5.3 系统开环传递函数为,试判定闭环系统的稳定性。,？,当s=0时，s=?,2018/10/16,第五章 频率法 20,5、 开环有串联积分环节的系统,系统中有串联积分环节（即在坐标原点上有极点），例如：开环系统传递函数为,是否包围 （-1,j0） ？,2018/10/16,第五章 频率法 21,处理：把沿 轴变化的奈氏路径在原点处作一修改，以0为圆心，为半径，在右半平面做很小的半圆。小半圆的表达式为,奈氏路径,2018/10/16,第五章 频率法 22,
9、例、,2018/10/16,第五章 频率法 23,结论： 1、由 曲线对称实轴。 2、对应 WK(j)=0 原点。,2018/10/16,第五章 频率法 24,P=0,Z=P-N,N=0 稳定,N=0 稳定,N=0 稳定,练习：,2018/10/16,第五章 频率法 25,6、应用奈氏判据判定闭环系统稳定性举例,例5-8 系统开环传递函数为,试用奈氏判据判定闭环系统稳定性，并求出系统稳定 时K的取值范围。,解：开环稳定 P=0,闭环稳定Z=0,N=P-Z=0,2018/10/16,第五章 频率法 26,方法1：,2018/10/16,第五章 频率法 27,方法2：,2018/10/16,第五章
10、 频率法 28,将例5.3,5.6,2018/10/16,第五章 频率法 29,例5-9 系统开环传递函数为,试用奈氏判据判定闭环系统稳定性，并求出系统稳定 时K的取值范围。,解：开环稳定 P=0,闭环稳定Z=0,N=P-Z=0,2018/10/16,第五章 频率法 30,2018/10/16,第五章 频率法 31,例5.10 系统开环传递函数为,试讨论闭环系统的稳定性。,解：,开环系统稳定P=0,若闭环系统稳定Z=0,N=P-Z=0,T1T2,T1T2,T1=T2,不稳定 稳定 临界稳定,2018/10/16,第五章 频率法 32,例5.12 系统开环传递函数为,试讨论闭环系统的稳定性。,解
11、：,开环系统不稳定P=1,若闭环系统稳定Z=0,N=P-Z=1,其开环频率特性为,2018/10/16,第五章 频率法 33,2018/10/16,第五章 频率法 34,2018/10/16,第五章 频率法 35,7. 用系统开环对数频率特性判断闭环系统 的稳定性,(1)开环幅相特性与对数特性之间的对应关系,定义：乃氏曲线在负实轴区（-，-1）由上部穿越 负实轴到下部，称为正穿越（+）。反之，在（-，-1） 区间由下部穿越负实轴到上部，成为负穿越（）。,2018/10/16,第五章 频率法 36,奈氏判据三（穿越判据）,如果开环稳定，则闭环系统稳定的条件是：当由 0时，(j)的正负穿越次数之差
12、为零。,如果开环不稳定，且不稳定极点个数为P，则闭环系统 稳定的条件是：当由0时，(j)的正负穿越 次数之差为P/2次。 见P236例58,2018/10/16,第五章 频率法 37,例如：,P=1,当由0时，(j)的正负穿越次数之差为1/2次，故闭环系统稳定。,+,2018/10/16,第五章 频率法 38,奈氏图与Bode图的对应关系,-1,单位圆,2018/10/16,第五章 频率法 39,奈氏判据四（Bode判据）,如果开环稳定，则闭环系统稳定的条件是：在L() 大于0dB的频段内，开环对数相频特性与-180线的 正负穿越次数之差为零。,如果开环不稳定，且不稳定极点个数为P,则闭环系统
13、 稳定的条件是：在L()大于0dB的频段内，开环对数 相频特性与-180线的正负穿越次数之差为P/2。,2018/10/16,第五章 频率法 40,8. 系统的稳定裕量,实际系统大多数情况存在参数不确定，甚至结构都与实际有 出入，这样用稳定判据得到的结论就可能不正确，你以为稳定的 系统实际可能不稳定。 不确定性的原因：测量误差、运行环境、运行条件的变化、为简 化研究进行的近似处理等。 考虑不确定的存在我们就不能仅满足于判断系统是否稳定，而是 要问如果系统的参数结构发生变化，这个我们原以为稳定的系统 还稳定吗？希望系统具有这样的性质：当系统中存在参数或结构 不确定是系统仍保持稳定-稳定裕量。一个
14、系统不但必须是稳定 的，而且还应该具有相当的稳定裕度，才是工程上实际可用的。,2018/10/16,第五章 频率法 41,8. 系统的稳定裕量,(1)相位裕量,：穿越频率,相位裕量，,增益裕量,-1,结论：最小相位系统若是稳定的，则相位裕量要大于零。,2018/10/16,第五章 频率法 42,注意： 相位裕量从 负实轴算起； 相角位移从 正实轴算起。 逆时针为正， 顺时针为负。,2018/10/16,第五章 频率法 43,(2)增益裕量(GM),增益裕量:,：相位穿越（截止）频率,2018/10/16,第五章 频率法 44,2018/10/16,第五章 频率法 45,同时考虑两个指标。,（4
15、）,（3）物理意义：,相位裕量和增益裕量表示：当系统的结构、参数不确定的情况下，对系统稳定性判别的可靠程度。,（5）,工程实际中，更多使用的是相角裕量这个性能 指标。,为保证系统具有满意的性能，通常选择,注意：,2018/10/16,第五章 频率法 46,要求：,2. 会计算,2018/10/16,第五章 频率法 47,例题1,2018/10/16,第五章 频率法 48,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),-1,A,-1,-2,-1,-2,c,2018/10/16,第五章 频率法 49,例题2,2018/10/16,第五章 频率法 50,0db,20db,40db,-20db,
