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1、用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。一、极坐标与直角坐标的互化一、极坐标与直角坐标的
2、互化1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以等.2.直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的步骤：(1)运用，tan (x0)；x2y2y x(2)在0，2)内由 tan (x0)求时，由直角坐标的y x符号特征判断点所在的象限(即的终边位置).解题时必须注意：1 确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.2 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定0，02，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包
3、括极点.3 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：.注意，的取值范围及其影响.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.例如、 （2015 年全国卷）在直角坐标系中。直线:xOy1C，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半2x 2C22121xyx轴为极轴建立极坐标系。（I）求，的极坐标方程；1C2C（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点3C4R2C3C为, ,求的面积MN2C MNA解：（）因为，所以的极坐标方程为cos ,sinxy1C，的极坐标方程为cos2 2C22 cos4 sin40（）将代入，得422 cos4 sin40，解得，故23 240122 2,2，即122
4、|2MN 由于的半径为 1，所以的面积为2C2C MNA1 2二、简单曲线的极坐标方程及应用二、简单曲线的极坐标方程及应用1.求曲线的极坐标方程,就是找出动点 M 的坐标 与 之间的关系,然后列出方程 f(,)=0,再化简并检验特殊点.2.极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.3.极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性. 例如、 （2015 全国卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t 0） ，其中 0 ，在以O为极点，cos sinxt yt x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：2sin。2 3cos（1）求
5、C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最|AB大值。解：（）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角2C2220xyy3C坐标方程为.222 30xyx联立 解得 或222220,2 30xyyxyx0, 0,x y 3,2 3.2xy 所以与交点的直角坐标为和2C3C(0,0)3 3(, )22（）曲线的极坐标方程为，其中1C(,0)R 0因此的极坐标为，的极坐标为A(2sin, ) B(2 3cos , ) 所以| |2sin2 3cos| 4|sin()|3AB当时，取得最大值，最大值为 45 6|AB三、简单参数方程及应用三、简单参数方程及应用1.将
6、参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点: 准确把握参数形式之间的关系; 注意参数取值范围对曲线形状的影响.2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.例如、 （2014 年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线：C，直线 ：（ 为参数）.22 149xyl2 22xt yt t（）写出曲线的参数方程，直线 的普通方程；Cl（）过曲线上任一点作与 夹角为的直线，交 于点CPlo30l，求的最大值与最小
7、值.A|PA解：（）曲线的参数方程为（ 为参数）C2cos , 3sin ,x y 直线 的普通方程为l260xy（）曲线上任意一点到 的距离为C(2cos ,3sin )Pl5|4cos3sin6|5d则，其中为锐角，且2 5|5sin()6|sin305dPA4tan3当时，取得最小值，最小值为sin()1|PA2 5 5四、参数方程与极坐标方程的综合应用四、参数方程与极坐标方程的综合应用第一步:消去参数,将曲线 C1 的参数方程化为普通方程;第二步:将曲线 C1 的普通方程化为极坐标方程;第三步:将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程;第四步:将曲线 C1 与曲线 C2 的直角坐标方
8、程联立,求得交点的直角坐标;第五步:把交点的直角坐标化为极坐标.例如、 （2017 年全国卷）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为2+ ,xtykt .设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为2,xm mmyk （为参数）曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos+sin)=0，M为l3与C的交点，求M的极径.2解：将参数方程转化为一般方程1:2lyk x21:2lyxk 消 可得：k224xy即的轨迹方程为；P224xy将参数方程转化为一般方程3:20lxy联立曲线和C3l22204xy
9、xy解得3 2 2 2 2xy 由解得cossinxy 5即的极半径是M5五、极坐标方程解圆锥曲线问题五、极坐标方程解圆锥曲线问题如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时，设曲线方程为极坐标方程往往能避开繁杂的计算。例如、(2007 重庆理改编)中心在原点 的椭圆，点O22 13627xy是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点使F123P,P ,P0 122331120P FPP FPP FP证明：为定值，并求此定值213111 FPFPFP解 ：以点为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：F，设点对应的极角为 ，则点与对应的极角分别为9 2cos1P2P3P、，、与的极径就分别是012001
10、201P2P3P、 与 ，1|FP 9 2cos2|FP 09 2cos(120 )3|FP 09 2cos(120 )因此，213111 FPFPFP002cos2cos(120 )2cos(120 ) 999而在三角函数的学习中，我们知道00coscos(120 )cos(120 )0因此为定值 2131112 3FPFPFP六、参数方程解圆锥曲线问题六、参数方程解圆锥曲线问题1.参数方程思想表示普通方程中的两个变量，注意参数几何意义和取值范围。2.消去参数，用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。例如、 （2016 年天津卷）设椭圆的右焦点为，13222 y ax)3( aF右顶点为
11、.已知，AFAe OAOF311其中为原点， 为椭圆的离心率. Oe（）求椭圆的方程；（）设过点的直线 与椭圆交于点（不在 轴上） ，垂直AlBBx于 的直线与 交于点，与轴交于点.若，且llMyHHFBF MOA，求直线 的斜率的取值范围.MAOl解：（）设，由，即，( ,0)F c113 |c OFOAFA113 ()c caa ac可得，又，所以，因此，所以椭圆2223acc2223acb21c 24a 的方程为.22 143xy（）设直线 的斜率为 （） ，则直线 的方程为.设，lk0kl)2( xky),(BByxB由方程组，消去，整理得. )2(13422xkyyx y012161
12、6) 34(2222kxkxk解得，或，由题意得，从而.2x346822kkx346822kkxB34122kkyB由（）知，设，有，)0 , 1 (F), 0(HyH), 1(HyFH.由，得，所以)3412,3449(222kk kkBFHFBF 0HFBF，解得.因此直线的方程为03412 3449222 kky kkH kkyH12492MH.kkxky124912设，由方程组消去，解得),(MMyxM )2(124912xkykkxkyy.在中，即) 1(1292022kkxMMAO|MOMAMAOMOA，化简得，即，解得或2222)2(MMMMyxyx1Mx1) 1(1292022 kk 46k.46k所以，直线 的斜率的取值范围为.l),4646,(
