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1、数列高考真题汇编1已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n-1，求数列bn的前 n 项和 Tn.4nanan1解析 (1)因为 S1a1，S22a122a12，2 12S44a124a112，(3 分)4 32由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得 a11.所以 an2n1.(5 分)(2)bn(1)n1(1)n14nanan14n2n12n1(1)n1.(6 分)(12n112n1)当 n 为偶数时，Tn1(113) (1315)(12n312n1) (12n112n1)12n1.2n2n1当
2、 n 为奇数时，Tn1(113) (1315)(12n312n1) (12n112n1)12n1.(10 分)2n22n12已知数列an的前 n 项和 Sn，nN*.n2n2(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和解析 (1)当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn1n.n2n2n12n12故数列an的通项公式为 ann.(2)由(1)知，ann，故 bn2n(1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 T2n，则T2n(212222n)(12342n)记 A212222n，B12342n，则 A22n12，2122n12B(12)(34
3、)(2n1)2nn.故数列bn的前 2n 项和 T2nAB22n1n2.3数列an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列是等差数列；ann(2)设 bn3n，求数列bn的前 n 项和 Sn.an解析 (1)证明：由已知可得1，即1.(4 分)an1n1annan1n1ann所以数列是以1 为首项，1 为公差的等差数列(5 分)anna11(2)解：由(1)得1(n1)1n，所以 ann2.ann从而 bnn3n.(7 分)Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.，得2Sn31323nn3n1n3n1313n13.(10 分)12n3
4、n132所以 Sn.(12 分)2n13n1344已知 Sn是数列an的前 n 项和，a12，Sn13Snn22(nN*)，设bnann.(1)证明：数列bn是等比数列；(2)若 cn，数列cn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn0.32n43n又 0，q0，Error!an2n1.(2)由题意，可得2n1.b11b23b35bn2n12n112n1(n2)，2n1.bn2n1bn2n1bn(2n1)2n1(n2)当 n1 时，b11，符合上式，bn(2n1)2n1(nN*)设 Tn1321522(2n1)2n1，2Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n，两式相减，得Tn12(222
5、2n1)(2n1)2n(2n3)2n3.Tn(2n3)2n3.9已知数列an是 a3，公比 q 的等比数列设16414bn23log an(nN*)，数列cn满足 cnanbn.14(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列cn的前 n 项和 Sn.解析 (1)证明：由已知，可得 ana3qn3( )n.14则 bn23log ( )n3n，bn3n2.1414bn1bn3，bn为等差数列(2)由(1)知 cnanbn(3n2)( )n，14Sn1 4( )27( )3(3n2)( )n， 14141414Sn1( )24( )37( )4(3n5)( )n(3n2)( )n1. 141414141414，得 Sn 3( )2( )3( )4( )n(3n2)( )n134141414141414 3(3n2)( )n114142114n111414 (3n2)( )n1.1214Sn ( )n.233n2314
