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1、2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编1第一章第一章 绪论绪论姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为,那么近似数 0.003400 有几位有效数字？（有效数字的计算）5105 . 0解解：，2*103400. 0x325*10211021 xx故具有 3 位有效数字。2 具有 4 位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）14159. 3解解：，欲使其近似值具有 4 位有效数字，必需10314159. 0*，即41*10213*31021102114209. 314109. 3*3 已知，是经过四舍五入后得
2、到的近似值，问，有几位2031. 1a978. 0bba ba有效数字？（有效数字的计算）解解：，而，3*1021 aa2*1021bb1811. 2ba1766. 1ba2123*102110211021)()(bbaababa故至少具有 2 位有效数字。ba 2123*10210065. 01022031. 1102978. 0)()(bbaaabbaab故至少具有 2 位有效数字。ba4 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？（误差的计算）0xxxln解解：已知，则误差为 *xxx*lnlnxxxxx则相对误差为 *lnln1lnlnlnxxxxxxxx5 测得某圆柱体高度的值为，底面半
3、径的值为，已知hcmh20*rcmr5*，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差cmhh2 . 0|*cmrr1 . 0|*hrv2限。（误差限的计算）解：解：*2*2),(),(hhrrrhrrhvrhv绝对误差限为252 . 051 . 02052)5 ,20(),(2vrhv2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编2相对误差限为%4201 20525 )5 ,20()5 ,20(),(2 vvrhv6 设的相对误差为,求的相对误差。（函数误差的计算）x%anxy 解解：，%* axxx)%(* naxxxnxxxyyynnn 7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度
4、量半径时允许的相对误差限为多%1r大？（函数误差的计算）解解：球体积为 ，3 34)(rrv3* 34)(rrv欲使，必须 。%13344)()()(*3*2* rrrrrrrrvrvrv%31* rrr8 设，求证：101dxexeIxn n（1）)2, 1, 0(11nnIInn （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。 （计算方法的比较选择）解解：1101110110110111nxnxnxnxn nnIdxexnedxexnexedexeI11101 01) 1(eeedxeeIx如果初始误差为，若是向前递推，有* 000II 022 1* 11
5、*!) 1() 1() 1()1 ()1 (nnnnnInIIIn nnnnnnn可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了。0如果是向后递推，其误差为nnInnI111nnnII!) 1( 211) 1(11)11 11()11 11(22 1* 110可见，初始误差的绝对值被逐步减少了。n2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编3第二章第二章 插值法插值法姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 1 已知已知，求，求的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）1)2(, 1)
6、 1 (, 2) 1(fff)(xf解法一（待定系数法）解法一（待定系数法）：设：设，由插值条件，有，由插值条件，有cbxaxxL2)(12412cbacbacba解得：解得：。3/4, 2/1, 6/1cba故故 。 34 21 61)(2xxxL解法二（基函数法）解法二（基函数法）：由插值条件，有：由插值条件，有1) 12)(12() 1)(1(1)21)(11 ()2)(1(2)21)(11()2)(1()(xxxxxxxL) 1)(1(31)2)(1(21)2)(1(31xxxxxx34 21 612xx2 2 已知已知，用线性插值求用线性插值求的近似值。的近似值。（拉格朗日线性插值）
7、（拉格朗日线性插值）9, 4,10xxxy7解解：由插值节点与被插函数，可知，：由插值节点与被插函数，可知，其线性插值函数为，其线性插值函数为240y391y56 5134942949)(xxxxL的近似值为的近似值为。76 . 2513 56 57)7(L3 若为互异节点，且有),.1 , 0(njxj)()()()()()()(11101110njjjjjjjnjj jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl 试证明。 （拉格朗日插值基函数的性质）),.1 , 0()(0nkxxlxnjk jk j 解解：考虑辅助函数，其中，。 njk jk jxxlxxF0)()(nk 0),(x2
8、008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编4是次数不超过的多项式，在节点（）处，有)(xFnixx ni 00)()()(0k ik ik iiik injk iijk jixxxxlxxxlxxF这表明，有 n+1 个互异实根。)(xF故，从而对于任意的均成立。0)(xF njk jk jxxlx0)(nk 04 已知，用抛物线插值计352274. 036. 0sin,333487. 034. 0sin,314567. 032. 0sin算的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）3367. 0sin解解：由插值条件，其抛物线插值函数为314567. 0)36. 032. 0)(
9、34. 032. 0()36. 0)(34. 0()(xxxL333487. 0)36. 034. 0)(32. 034. 0()36. 0)(32. 0(xx352274. 0)34. 036. 0)(32. 036. 0 ()34. 0)(32. 0(xx将代入，计算可得：。3367. 0x3304. 0)3367. 0(L其余项为： 其中， )36. 0)(34. 0)(32. 0(! 3sin)(xxxxr36. 032. 0)36. 0)(34. 0)(32. 0(61)(xxxxr故误差的上界为：。71014. 2)36. 03367. 0)(34. 03367. 0)(32. 0
10、3367. 0(61)3367. 0(r5 5 用余弦函数用余弦函数在在，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插三个节点处的值，写出二次拉格朗日插xcos00x41x22x值多项式值多项式, , 并近似计算并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉6cos格朗日二次插值）格朗日二次插值）解解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为0) 4/2/)(02/() 4/)(0(21 ) 2/4/)(04/() 2/)(0(1) 2/0)(4/0() 2/)(4/()( xxxxxxxL2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答
11、江世宏编522)2/(28)2/)(4/(8 xxxx8508. 09242)2/6/(6/28)2/6/)(4/6/(8)6(22 L绝对误差为：0153. 01828439 9242 23)6(6cosL相对误差为：0179. 028428439)6()6(6cos LL余项为：，其中，)2/)(4/(! 3sin)(xxxxr2/0其余项的上界为：)2/)(4/(61)(xxxxr0239. 06)26)(46(661)6(43 r比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6 已知函数值，求函数的四阶均212)6(,82)4(,46)3(,10) 1 (, 6)0(
12、fffff差和二阶均差。（均差的计算）6, 4, 3, 1, 0 f3, 1, 4 f解解：采用列表法来计算各阶均差，有xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15从表中可查得：。1516, 4, 3, 1, 0fxy一阶均差二阶均差48211072/3346186故。其实，根据均差的对称性，该值在第一个表63, 1, 4f64 , 3 , 1 3, 1, 4 ff中就可以查到。2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编67 设求之值，其中，而节点)()()(10nxxxxxxxf1, 0pxxxf1
13、 np互异。（均差的计算）) 1, 1 , 0(nixi解解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有 pipipiiiiiiii pxxxxxxxxxxxxxfxxxf0111101, 0)()()()(而 ，故。0)(ixfpi 001, 0pxxxf8 如下函数值表x0124)(xf19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）解解： 先构造均差表xf(x)一阶均差二阶均差三阶均差0119822314343-10-8-11/4故 。)2)(1(411) 1(381)(xxxxxxxN9 求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，)(xp2) 1 (p4)2(p，。（插值多项式的构造）3)2( p12)3(p解法一（待定系数法）解法一（待定系数法）：设，则dcxbxaxxp23)(，由插值条件，有cbxaxxp23)(2 123927341242482dcbacbadcbadcba解得：。6,15, 9, 2dcba故 61592)(23xxxxp2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编7解法二（带重节点的均差法）解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表xy一阶差商二阶差商三阶差商122422431312852故 61592)2)(1(2)2)(1
