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1、数列中的奇偶项分类讨论问题数列中的奇偶项分类讨论问题 20170313例 1、（14 宁波二模）设等差数列na的前 n 项和为，且数列的前 n 项和为，且nS248,40aS nbnT， （I）求数列,的通项公式；（II）设， 求数列的230nnTbnN na nb 为偶数为奇数nbnacnn n nc前项和nnP解：（）由题意，得 1184640adad 14,44naand，230nnTb113nb当时，两式相减，得112230nnnb当时，T12,(2)nnbbn数列为等比数列， nb13 2nnb （） 14 3 2nnnncn为奇数为偶数当为偶数时，= n13124()()nnnPa
2、aabbb212(444)6(14 )222214nnnn n当为奇数时， （法一）为偶数，n1n1nnnPPc(1) 1222(1)24221nnnnnn（法二）132241()()nnnnPaaaabbb 1 221(44 )6(1 4)222121 4nnnn nn12222, 221nnnnnPnnn为偶数 ，为奇数例 2.数列中，为数列的前项和，求。 na1221,4,23nnaaaannS nannS2 -1-12 -32-112-12 -22-11,2=c+2=c +2n-1 =n,2=+2= +2n-1 =n+2n =n+21+(1)(1) 2nnnnnnnnnnnnnnnnn
3、nnnnnnaaaacanbabaaabbbbanannn 解：当为奇数时，c则c，由得，则c（）2n-1, 则；当为偶数时，则，由得，则（）2n+2, 则；，为奇数 ，n为偶数为奇数, S222232(n 1);2 1+ )3;22 32,2 3,2nnnnnn nnnnnnnnnnn （为偶数, S为奇数, S为偶数.练习、（12 宁波一模）已知数列满足：，设. na111,1,2n n nanaaan 偶偶偶偶为数为数*nN21nnba（1）求并证明：23,b b122;nnbb（2）证明：数列等比数列；若成等比数列，求正整数 k 的值.2nb 22122,9kkkaaa解：（1）232
4、1=22(1)4,baaa3543=22(1)10,baaa121221=22(1)2(1)22,nnnnnnbaaabb（2）因为所以数列是以 3 为首项，2 为公比的等比数列.1 11122(2)1,20,2,22nnnnbbbabbb2nb 由数列可得，则，2nb 11 213 22,3 22nn nnba 即1 22113 21n nnaa 因为成等比数列，所以，令，得22122,9kkkaaa21(3 22)(3 21)(3 28)kkk2 =kt，解得，得.23(32)(1)(38)2ttt 243t 偶2k 14 分 2. 已知数列an满足 an1Error!Error!若 a3
5、1，则 a1的所有可能取值为_解析：当 a2为奇数时，a3a241，a25；当 a2为偶数时，a3 a21，a22；12当 a1为奇数时，a2a125，a17或 a2a122，a14(舍去)；当 a1为偶数时，a2 a15，a11012或 a2 a12，a14.12综上，a1的可能取值为 4,7,10.答案：4,7,103. 一个数列an，当 n 是奇数时，an5n1；当 n 为偶数时，an，则这个数列的前 2m 项的和是22n_解析：当 n 为奇数时，an是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列；当 n 为偶数时，an是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列所以，S2mS奇S偶ma11
6、06m5m(m1)2(2m1)mm12a212m126m5m25m2m122m15m2m2.4已知等差数列an的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为( )A10 B20 C30 D40 解析：选 A 设这个数列有 2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于 nd，即25152n，故 2n10，即数列的项数为 10.5、等比数列的首项为 ，项数是偶数，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则这个等比数列的项数185170为 （C） （A） （B） （C） （D）468106、已知数列an，bn满足 a11，且 an，an
7、1是函数 f(x)x2bnx2n的两个零点，则 b10_.解析：anan1bn，anan12n，an1an22n1，an22an.又a11，a1a22，a22，a2n2n，a2n12n1(nN*)，b10a10a1164.7、已知数列an满足 a15，anan12n，则( )A2 B4 C5 D.a7a352解析：选 B 依题意得2，即2，故数列 a1，a3，a5，a7，是一个以 5 为首项、2 为an1an2anan12n12nan2an公比的等比数列，因此4.a7a38已知数列an满足 a11，an1an2n(nN*)，设 Sn是数列an的前 n 项和，则 S2 014( ) A22 01
8、41 B321 0073 C321 0071 D321 0072解析：选 B 由2，且 a22，得数列an的奇数项构成以 1 为首项，2 为公比的等an2an1an1anan2an2n12n比数列，偶数项构成以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 S2 014(a1a3a5a2 013)(a2a4a6a2 014)321 0073.121 007122121 00712对比： an1/an2n则用累乘法， 9. 数列an的前 n 项和为 Sn，a11，a22，an2an1(1)n(nN*)，则 S100_. 解析：由 an2an1(1)n，知 a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a
9、5a2n11，数列a2k是等差数列，a2k2k.S100(a1a3a5a99)(a2a4a6a100)50(246100)502 600.1002 502点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。对比练习：(2014衢州模拟)对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列” ，若 a12，an的“差数 列”的通项公式为 2n，则数列an的前 n 项和 Sn_. 解析：an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.22n12Sn2n12.22n11210、(2013天津高考)已知首项为 的等比数列an的前 n 项和为 Sn(
10、nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列32(1)求数列an的通项公式；(2)证明 Sn(nN*)1Sn136解题指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前 n 项和，根据函数的单调性证明解 (1)设等比数列an的公比为 q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以 S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得 2a4a3，于是 q .a4a312又 a1 ，所以等比数列an的通项公式为 an n1(1)n1.3232(12)32n(2)证明：Sn1n，(12)Sn1nError!Error!1Sn(12)11(12)n当 n 为奇数时，Sn随 n 的增大
11、而减小，所以 SnS1.1Sn1Sn1S1136当 n 为偶数时，Sn随 n 的增大而减小，所以 SnS2.1Sn1Sn1S22512故对于 nN*，有 Sn.1Sn136 变式：(2013湖北高考)已知 Sn是等比数列an的前 n 项和，S4，S2，S3成等差数列，且 a2a3a418.求数列an的通项公式；是否存在正整数 n，使得 Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由解析：设数列an的公比为 q，则 a10，q0.由题意得Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!故数列an的通项公式为 an3(2)n1.由有 Sn1
12、(2)n.3 12n12若存在 n，使得 Sn2 013，则 1(2)n2 013，即(2)n2 012.当 n 为偶数时，(2)n0，上式不成立；当 n 为奇数时，(2)n2n2 012，即 2n2 012，则 n11.综上，存在符合条件的正整数 n，且所有这样的 n 的集合为n|n2k1，kN，k5点评：当数列涉及底数是负数时，要对指数 n 分奇偶讨论。数列中的奇偶项练习数列中的奇偶项练习 B 组组 201703131、 （2005 天津）在数列中，且，则 。 na121,2aa 211n nnaa 100S变式：求。 2600 变式：nS21,4 4,4nnn S n nn 为奇数为偶数2、求和： 11 59 13143n nSn 2 ,21,nn nSnn为偶数为奇数3、已知数列的前项和满足，且，求数列的通项公式。 nannS121332nnnSSn1231,2SS na11143,2143,2nnnn an 为奇数为偶数4、( 2004 年北京理 14) 定义“等和数列”: 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这 个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列是等和数列，且，公和为 5，那么的值为 ，这个数列的前 n 项和的计算公式为 na12a 18anS。 3，5,2 51, 2nnn Snn 为偶数
