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1、教师用 2014、8、11 周一- 1 -全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等之间的相等1.1.等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”法：法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.2.倍长中线：倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.3.角平分线在三种添辅助线角平分线在三种添辅助线4.4.垂直平分线联结线段两端垂直平分线联结线段两端5.5.用用“截长
2、法截长法”或或“补短法补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.6.图形补全法：图形补全法：有一个角为有一个角为 6060 度或度或 120120 度的把该角添线后构成等边三角形度的把该角添线后构成等边三角形7.7.角度数为角度数为 3030、6060 度的作垂线法：度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为遇到三角形中的一个角为 3030 度或度或 6060 度，度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形，然后的特殊直角三角形，然后计算
3、边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。等三角形创造边、角之间的相等条件。8.8.计算数值法：计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形，的特殊直角三角形，或或 40-60-8040-60-80 的特殊直角三角形的特殊直角三角形, ,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三
4、角形创造边、角之间的相等条件。的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线教师用 2014、8、11 周一- 2 -DCBAEDFCBA（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线
5、的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5)5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问
6、题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AB-BE BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.教师用 2014、8、11 周一- 7 -证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.
7、 BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA. 延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD, 各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等四、借助角平分线造全等1、在 ABC 中，ABAC. 求证：BC( (答案与解析答案与解析) )证明：作A 的平分线，交 BC 于 D，把ADC 沿着 AD 折叠，使 C 点与 E 点重合.教师用 2014、8、11 周一- 8 -OEDCBA在ADC 与ADE 中 ADCADE（SAS） AEDCACAE CADEAD
8、ADAD AED 是BED 的外角， AEDB，即BC.( (点评点评) )作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明 (角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60 度, 则BAC+BCA=120 度; AD,CE 均为角平分线, 则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF. 又 AO=AO;OAE=OAF .则OAEOAF(SAS), OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度.则COF=AO
9、C-AOF=60 度=COD; 又 CO=CO;OCD=OCF. 故OCDOCF(SAS), OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC.3、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求 AE、BE 的长.ab解：解：( (垂直平分线联结线段两端) )连接连接 BDBD，DCDCDG 垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD 平分BAC， DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有EDDF故 RTDBERTDFC（HL）故有故有 BEBECFCF。AB+ACA
10、B+AC2AE2AEEDGFCBA教师用 2014、8、11 周一- 9 -FEDCBAAEAE（a+ba+b）/2/2BE=(a-b)/2BE=(a-b)/2五、旋转五、旋转例1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE，AF=AG， 所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以EAF=45 度例 2 D 为等腰斜边 AB
11、 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt ABC (1)当绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MDN (2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。解：(计算数值法)（1）连接 DC， D 为等腰斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDARt ABC CDCD 平分平分BCA90，ECDDCA45 由于 DMDN，有EDN90 由于 CDAB，有CDA90 从而CDEFDA 故有CDEADF（ASA） 故有 DE=DF（2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1应用：如图，是边长为 3 的等边三角形，是等腰三角形，且，以 DABCBDC0120BDC为
12、顶点做一个角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则的060AMN周长为 ；教师用 2014、8、11 周一- 10 -解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC 的延长线与 BD 的延长线交 于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBMABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN 和DEN 中，DM=DEMDN=EDN=60DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA 和DEF 中，DM=DEMDA=60- MDB=60- CDE=EDF (CDE=BDM)DAM=DFE=30DMNDEN (AAS)，MA=FE 的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6AMN
