数学教案－分式方程的应用

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1、数学教案分式方程的应用数学教案分式方程的应用列分式方程解应用题教学目标1。使学生能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高学生分析问题和解决问题的能力；2。通过列分式方程解应用题，渗透方程的思想方法。教学重点和难点重点：列分式方程解应用题。难点：根据题意，找出等量关系，正确列出方程。教学过程设计一、复习例 解方程：(1)2x+xx+3=1; (2)15x=215 x+12;(3)2(1x+1x+3)+x2x+3=1。解 (1)方程两边都乘以 x(3+3)，去分母，得2(x+3)+x2=x2+3x，即 2x3x=6所以 x=6。检验：当 x=6 时，x(x+3)=6(6+3

2、)0，所以 x=6 是原分式方程的根。(2)方程两边都乘以 x(x+12)，约去分母，得15(x+12)=30x。解这个整式方程，得x=12。检验：当 x=12 时，x(x+12)=12(12+12)0，所以 x=12是原分式方程的根。(3)整理，得2x+2x+3+x2x+3=1，即 2x+2+x2 x+3=1，即 2x+xx+3=1。方程两边都乘以 x(x+3)，去分母，得2(x+3)+x2=x(x+3)，即 2x+6+x2=x2+3x，亦即 2x3x=6。解这个整式方程，得 x=6。检验：当 x=6 时，x(x+3)=6(6+3)0，所以 x=6 是原分式方程的根。二、新课例 1 一队学生

3、去校外参观，他们出发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍。若骑车的速度是队伍进行速度的2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?请同学根据题意，找出题目中的等量关系。答：骑车行进路程=队伍行进路程=15(千米)；骑车的速度=步行速度的 2 倍；骑车所用的时间=步行的时间0。5 小时。请同学依据上述等量关系列出方程。答案：方法 1 设这名学生骑车追上队伍需 x 小时，依题意列方程为15x=215 x+12。方法 2 设步行速度为 x 千米时，骑车速度为 2x 千米时，依题意列方程为15x

4、15 2x=12。解 由方法 1 所列出的方程，已在复习中解出，下面解由方法 2 所列出的方程。方程两边都乘以 2x，去分母，得3015=x，所以 x=15。检验：当 x=15 时，2x=2150，所以 x=15 是原分式方程的根，并且符合题意。所以骑车追上队伍所用的时间为 15 千米 30 千米时=12 小时。答：骑车追上队伍所用的时间为 30 分钟。指出：在例 1 中我们运用了两个关系式，即时间=距离速度，速度=距离 时间。如果设速度为未知量，那么按时间找等量关系列方程；如果设时间为未知量，那么按速度找等量关系列方程，所列出的方程都是分式方程。例 2 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做

5、，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成。现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天?分析；这是一个工程问题，在工程问题中有三个量，工作量设为 s，工作所用时间设为 t，工作效率设为 m，三个量之间的关系是s=mt，或 t=sm，或 m=st。请同学根据题中的等量关系列出方程。答案：方法 1 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为 x 天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天，设工程总量为 1，甲的工作效率就是 x1，乙的工作效率是1x+3。依题意，列方程为2(1x+1x3)+x2xx+3=1。指出：工作效率的意义是单位时间完成

6、的工作量。方法 2 设规定日期为 x 天，乙与甲合作两天后，剩下的工程由乙单独做，恰好在规定日期完成，因此乙的工作时间就是 x 天，根据题意列方程2x+xx+3=1。方法 3 根据等量关系，总工作量甲的工作量=乙的工作量，设规定日期为 x 天，则可列方程12x=2x+3+x2x+3。用方法 1方法 3 所列出的方程，我们已在新课之前解出，这里就不再解分式方程了。重点是找等量关系列方程。三、课堂练习1。甲加工 180 个零件所用的时间，乙可以加工 240 个零件，已知甲每小时比乙少加工 5 个零件，求两人每小时各加工的零件个数。2。A，B 两地相距 135 千米，有大，小两辆汽车从 A 地开往

7、B 地，大汽车比小汽车早出发 5 小时，小汽车比大汽车晚到 30 分钟。已知大、小汽车速度的比为 2：5，求两辆汽车的速度。答案：1。甲每小时加工 15 个零件，乙每小时加工 20 个零件。2。大，小汽车的速度分别为 18 千米时和 45 千米时。四、小结1。列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意。原方程的增根和不符合题意的根都应舍去。2。列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数。但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为

8、未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数。在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷。例如在课堂练习中的第 2 题，若题目的条件不变，把问题改为求大、小两辆汽车从 A 地到达B 地各用的时间，如果设直接未知数，即设，小汽车从 A 地到 B 地需用时间为 x 小时，则大汽车从 A 地到 B 地需(x+512)小时，依题意，列方程135 x+512：135x=2：5。解这个分式方程，运算较繁琐。如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从 A 地到 B 地的时间，运算就简便多了。五、作业1。填空：(1)一件工作甲单独做要

9、 m 小时完成，乙单独做要 n 小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是_小时；(2)某食堂有米 m 公斤，原计划每天用粮 a 公斤，现在每天节约用粮 b 公斤，则可以比原计划多用天数是_;(3)把 a 千克的盐溶在 b 千克的水中，那么在 m 千克这种盐水中的含盐量为_千克。2。列方程解应用题。(1)某工人师傅先后两次加工零件各 1500 个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了 18 个小时。已知他第二次加工效率是第一次的2。5 倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?(2)某人骑自行车比步行每小时多走 8 千米，如果他步行 12 千米所用时间与骑车行 36

10、 千米所用的时间相等，求他步行 40 千米用多少小时?(3)已知轮船在静水中每小时行 20 千米，如果此船在某江中顺流航行 72 千米所用的时间与逆流航行 48 千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?(4)A，B 两地相距 135 千米，两辆汽车从 A 地开往 B 地，大汽车比小汽车早出发 5 小时，小汽车比大汽车晚到 30 分钟。已知两车的速度之比是 5：2，求两辆汽车各自的速度。答案：1。(1)mn m+n; (2)m abma; (3)ma a+b。2。(1)第二次加工时，每小时加工 125 个零件。(2)步行 40 千米所用的时间为 40 4=10(时)。答步行40 千

11、米用了 10 小时。(3)江水的流速为 4 千米时。课堂教学设计说明1。教学设计中，对于例 1，引导学生依据题意，找到三个等量关系，并用两种不同的方法列出方程；对于例 2，引导学生依据题意，用三种不同的方法列出方程。这种安排，意在启发学生能善于从不同的角度、不同的方向思考问题，激励学生在解决问题中养成灵活的思维习惯。这就为在列分式方程解应用题教学中培养学生的发散思维提供了广阔的空间。2。教学设计中体现了充分发挥例题的模式作用。例 1是行程问题，其中距离是已知量，求速度(或时间)；例 2是工程问题，其中工作总量为已知量，求完成工作量的时间(或工作效率)。这些都是运用列分式方程求解的典型问题。教学

12、中引导学生深入分析已知量与未知量和题目中的等量关系，以及列方程求解的思路，以促使学生加深对模式的主要特征的理解和识另?别，让学生弄清哪些类型的问题可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。学生完成课堂练习和作业，则是识别问题类型，能把面对的问题和已掌握的模式在头脑中建立联系，探求解题思路。3。通过列分式方程解应用题数学，渗透了方程的思想方法，从中使学生认识到方程的思想方法是数学中解决问题的一个锐利武器。方程的思想方法可以用“以假当真”和“弄假成真”两句话形容。如何通过设直接未知数或间接未知数的方法，假设所求的量为 x，这时就把它作为一个实实在在的量。通过找等量关系列方程，此时是把已知量与假设的未知量平等看待，这就是“以假当真” 。通过解方程求得问题的解，原先假设的未知量 x 就变成了确定的量，这就是“弄假成真” 。