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1、第 4 章 平面图形的几何性质,4-1 静矩与形心,一、平面图形的静矩和形心,设任意形状的平面图形的面积为A，则图形对 y轴和z轴的静矩（面积矩）分别定义为,静矩与形心坐标的关系：,二、组合图形的静矩和形心,设平面图形由n个面积分别为A1，A2，的简单图形所组成，且已知各组分图形的形心坐标分别为 则组合图形对 y 轴和 z 轴的静矩分别为各组分图形对同一坐标轴的静矩之代数和，即,该平面图形的形心坐标为,，,三、静矩的特征,1.平面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 2.静矩的量纲为长度三次方，单位为 m3 。 3.静矩的数值可正、可负，或为零图形对任一形心轴的静矩必定为零。
2、反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必为图形的形心轴。图形对对称轴的静矩必零。 4.若已知图形的形心坐标，则可求图形对坐标轴的静矩。反之，亦然。,4-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩,y,一、惯性矩：,1.惯性矩的定义：,2. 极惯性矩：,3.惯性矩的特征,1）平面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；惯性矩是对某一坐标轴定义的。,3.惯性矩的特征,2）极惯性矩和惯性矩的量纲均为长度四次方，单位为m4。 3）极惯性矩和惯性矩的数值均恒为大于零的正值。 4）图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和。,5 ) 组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的
3、惯性矩，分别等于各组分图形对同一点的极惯性矩或对同一轴的惯性矩之和，即,二、惯性积,1.定义： 设任意形状的平面图形的面积为A,则图形对y和z轴的惯性积定义为,1)平面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。 2)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4。 3)惯性积的数值可正、可负，也可能等于零。若一对坐标轴中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积必等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴中却不一定有图形的对称轴。 4)组合图形对某一对坐标轴的惯性积等于各组分图形对同一对坐标轴的惯性积之代数和。,2.惯性积的特征,三、(回转)惯性半径,1.定义： 设任意形状的平
4、面图形的面积为A,则图形对y和z轴的 惯性半径定义为,2.惯性半径的特征1)惯性半径是对某一坐标轴定义的。2)惯性半径的量纲为长度一次方，单位为m。3)惯性半径的数值恒取正值。4)惯性半径不是图形的一个特征尺寸。,4-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理,一、平行移轴定理,二、平行移轴定理的特征,1.式中 a或b 要理解成是图形的形心C相对于坐标轴z 、y的 坐标 。 2.在所有相互平行的坐标轴中图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。,4-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩,一、 惯性矩和惯性积的转轴公式,1.推导,2.定理（转轴公式）,3.转轴公式的
5、特征,1)角度a的正负号，从原坐标轴y、z 转至新坐标轴 y1、z1， 以逆时针转向者为正。 2）转轴公式与图形的形心无关。 3）图形对通过同一坐标原点的任意一对相互垂直坐标轴的两个惯性矩之和相等，且等于图形对原点的极惯性矩，即,二、主惯性轴,1.定义： 若图形对通过某一点O 的一对相互垂直的坐标轴y0、z0的惯性积为零( ),则该对坐标轴y0、z0称为图形通过该点O的主惯性轴。即，坐标轴旋转到 = 0 时；恰好有 ，则与 0 对应的旋转轴y0 、z0 称为图形通过该点O的主惯性轴。简称主轴。,2.主惯性轴的确定,1)若通过某一点O能找到图形的对称轴、则通过O点并包含对称轴的一对相互垂直的坐标
6、轴，即为图形通过该点的一对主惯性轴。,3.主惯性轴的特征,1)通过图形的某一点O至少具有一对主惯性轴。 2)主惯性轴的方位角0 ，从参考轴y、z量起，并以逆时针转向为正。,结合2a0的正余弦值可得唯一的a0。,2)若通过某一点O没有图形的对称轴,则可通过点O作任一对相互垂直的坐标轴y、z，作为参考轴，并求出图形对y、z 轴的惯性矩Iy、Iz和惯性积Iyz，于是，图形通过该点的一对主惯性轴的方位为,三、主惯性矩,1.定义: 图形对通过某一点O的一对主惯性轴的惯性矩，称为图形通过该点的主惯性矩,2.主惯性矩计算,2)若图形通过某一点O的一对主惯性轴，由选取参考轴y、z，按式 确定，则图形通过该点的
7、两主惯性矩为,1)若图形通过某一点O的一对主惯性轴由寻求图形的对称轴直接确定，则图形通过该点的两主惯性矩通常可由平行移轴公式直接计算。,3.主惯性矩的特征,1）主惯性矩是图形对通过某一点的所有轴的惯性矩的极值， 其一为最大值，另一个为最小值。 2）若图形对通过某一点的两主惯性矩相等，则通过该点的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。,四、形心主惯性轴与形心主惯性矩,1.定义： 通过图形形心的一对主惯性轴，称为图形的形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为图形的形心主惯性矩。,2.形心主惯性矩的计算,2.形心主惯性矩的计算,1）选取参考坐标系确定图形的形心位置。 2）应用平行移轴定理，计算通过形心且与参考轴平行的一对坐标轴的惯性矩IyC、IzC和惯性积IyCzC。,3）应用式 确定形心主惯性轴的方位；,应用式 计算图形的形心主惯性矩的数值。,例： 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。 ( b=1.5d ),d,b,2d,C,解:,例：,图示L形截面，试求通过角点O和形心C的主惯性轴和主惯性矩。,解：,1.求通过角点O的主惯性轴和主惯性矩,(1)求惯性矩,(2)求主惯性轴,(3)求主惯性矩,解续,2.求通过形心C的主惯性轴和主惯性矩,(1)求形心位置,(2)求形心惯性矩,(3)求形心主惯性轴,(4)求形心主惯性矩,本章结束！,谢谢大家！,
