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1、第四节 无穷小与无穷大,本节概要,无穷小是微积分中非常重要的概念，这是 因为无穷小与函数极限有着密切关系，并在函 数极限的讨论中起着重要作用。从某种意义上 讲，微积分也可称作无穷小分析。无穷大概念由于其和无穷小概念有着密 切 联系，因而也在微积分讨论中起着重要作用。,(1) 无穷小的概念,无穷小对应于函数极限为零的情形，但这一特殊极 限却可用来表达一般的极限过程，且极限的概念、运算 规则及分析证明常常都可归结为无穷小的讨论。它在微 积的讨论中有着特殊重要作用。无穷小概念与自变量的一定 变化趋势相对应，以下就两种主 要的情形给出无穷小的定义。,(2) 无穷小的定义,如果 x x 0 时，函数 (
2、 x )的极限为 0 ，那么( x ) 叫做 x x 0 时的无穷小。如果 x 时，函数 ( x )的极限为 0 ，那么( x ) 叫做 x 时的无穷小。如果 n 时，数列 x n 的极限为 0，那么 x n 叫做 n 时的无穷小。,(3) 无穷小举例,因为 ，故函数 f( x )= sin x 是 x 0 时 的无穷小。 因为 ，故函数 f( x )= a - x 是 x + 时 的无穷小。因为当| q | 1 时， 故数列 q n (| q | 1 ) 是 n 时的无穷小。因为 l i m 0 = 0，故常数 0 是无穷小。,例：根据定义证明：当 x 3 时， 是无穷小。按定义证明当 x
3、3 时，给定函 数是无穷小，就是对任意给定的正数 ， 要设法说明存在正数 ，使得当0 | x - 3| 时有要说明这样的 存在，最直接的办 法就是将 找出来。为确定 的值，关 键是导出关系式,因为 故对任意给定的正数 ，要使取 = ，则当 0 | x - 3| 0，存在 0，使得 当 0 | x - x 0| 时，| f( x )- A | 0，存在 0，使得当 0 | x - x 0| 时有| f( x )- A|= | ( x )| 0，存在 1 , 2 , 3 0，使得当 0 | x - x 0 | 1 时，| ( x )| /3；当 0 | x - x 0 | 2 时，| ( x )|
4、 /3；当 0 | x - x 0 | 3 时，| ( x )| /3 .取 = Min 1 , 2 , 3 ，则当 0 | x - x 0 | 时有| ( x )( x )( x )|( x )|+| ( x )|+| ( x )| 0，使得当 0 0，存在 2 0，使 得当 0 | x - x 0 | 2 时，取 = Min 1, 2 ，则当 0 | x - x 0 | 时有即有,若 ( x )当 x 时为无穷小，u( x )当| x |大于某正数 X 时有界，则 u( x )( x )当 x 时为无穷小。,例：证明函数 是 x 0 时的无穷小。 因为 函数 在点x 0 = 0 的邻域内有
5、界。由为无穷小性质知， 函数 当 x 0 时为无穷小。,例：证明函数 是 x 时的无穷小。 因为 u( x )=arctan x 2 即 u( x )= arctan x 有界。由为无穷小性质知， 函数 当 x 时为无穷小。,由于常数是自变量任意趋向下的有界函数，因此常 数与无穷小的乘积是对应于该无穷小的自变量趋向下的 无穷小。由于无穷小总是自变量一定趋向下的有界函数，因 此两个无穷小的乘积是无穷小。由归纳法原理，有限个 无穷小的乘积也是无穷小。需注意的是，推论 2 只能推广到有限个无穷小的情 形，即无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小。,例：两个无穷小的商是否一定是无穷小？试举例说明。两个无穷小
6、的商就是在自变 量的同一趋向下的两个无穷小之比。 由无穷小的性质知，常数与无穷小的 乘积是无穷小。因此，只要两个无穷 小成比例，且比值不为零，即lim( x )= 0， lim ( x )= 0，( x )/( x )= k， 则两个无穷小的商就不会是无穷小。由此可推断，两个无穷小的商不一定是无穷小。,例：考虑极限因为 由此可以推断应有 并考虑用定义证之。对任意给定的正数 ，要使只需取 = ，则当 0 | x - 3| X 的一切 x ，对应的函数值f( x )都满足不等式 | f( x )| M ， 那么就称函数 f( x )当 x 时 为无穷大，记作：,x 时的无穷大,例：根据定义证明：当
7、 x 0 时， 是无穷大。 又问， x 只要满足什么条件，就能使 y 10 4 ？ 按定义证明当 x 0 时，给定函 数是无穷大，就是对任意给定的正数 M ， 要设法说明存在正数 ，使得当0 | x - 0 |= | x | 时有要说明这样的 存在，最直接的办法就是将 找出 来。由于式子 是随 x 的变化而变化的，故 可考虑从所证式子 出发确定 .,因为 故对任意给定的正数 M，要使，则当 0 | x - 0 | 0，存在 0，使得对满足 x U( x 0, ) 的一切 x 有| f( x )| M .对 M 0 及 0，总存在一个 x * U( x 0 , ) 使得 | f( x * )| M .,无穷大与无界函数的区别和联系,x x 0 时的无穷大,点 x 0 的邻域的无界函数,x x 0 时 f( x )为无穷大,U( x 0, )内g( x )为无穷大,无穷大量必为无界函数，而无界函数未必是无穷大.数列 x n 为无穷大 x n 的任何子列 x n k 都以 为极限。数列 x n 无界 x n 存在趋于无穷的子列 x n k .,
