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1、第五章 测量误差的基本知识,了解测量误差产生的原因、误差的分类与处理原则、偶然误差的特性； 掌握测量精度的评定观测值中误差、算术平均值中误差、相对中误差的计算、算术平均值的计算 误差传播率及其应用。,第五章 测量误差的基本知识,5.1 测量误差概述5.2 衡量精度的指标5.3 误差传播定律5.4 算术平均值及其中误差,测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如： 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。 2、 观测值之和不等于理论值：三角形 +180 闭合水准 h0,一、测量误差的来源,等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。,1. 测量仪器,2.
2、观测者的技术水平,3. 外界环境,观测条件,粗差：因读错、记错、测错造成的错误。,二、 测量误差的分类,在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。,1、系统误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。,例 ：钢尺尺长、温度、倾斜改正水准仪 i角经纬仪 c角、i角注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。,消除和削弱的方法: （1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观
3、测方法加以抵消或削弱。,在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前不能预知其出现的大小和符号。 偶然误差只能通过改善观测条件对其加以控制。,2、偶然误差,偶然误差的特性,真误差,观测值与理论值之差,偶然误差分布的直方图,落入区间的误差个数 误差的总个数 误差区间大小,根据这些描述性特性， 当n，可以得出理论误差分布曲线,绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；（对称性）,同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：,在一定的条件下，偶然误差的绝
4、对值不会超 过一定的限度;（有界性） 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性/区间性）,（抵偿性）,复习思考题： 1 偶然误差与系统误差有什么区别 ? 偶然误差有哪些特性 ? 根据下列的误差内容，试判断其属于何种误差 ?,系统误差,系统误差,系统误差,偶然误差,偶然误差,偶然误差,系统误差,误差处理的原则：,1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。,2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。,3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少其影响。一般要通过一定的数学方法（测量平差）来处理。,精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值误差分
5、布的 密集或离散程度。,一、 中误差,1、中误差的定义：在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1， l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则观测值的中误差m的定义为：,式中,式中：,例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。,解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：，说明第一组的精度高于第二组的精度。,说明：中误差越小，观测精度越高,中误差所代表的是某一组观测值的精度。,2、用真误差计算中误差,3、用改正数计算中误差改正数：最或是值与观测值之差，用v表示，即：v=x-l式中： v为观测值的改正数；l为观测值；x为观测值的最或是值,改正数求中误差的白塞尔公式
6、：,设对某个量进行n次观测，则它的最或是值为,定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。,二、极限误差（容许误差）,测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然 误差的容许误差；即容=2m 或容=3m 。,极限误差的作用：区别误差和错误的界限。,偶然误差的绝对值大于中误差9的有14个，占总数的35%，绝对值大于两倍中误差18 的只有一个，占总数的2.5%，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。,中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。,相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式 来表示，称其为相对（
7、中）误差。即:,三、 相对误差,一般情况 :角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。,例 已知：D1=100m, m1=0.01m，D2=200m, m2=0.01m，求： K1, K2 解：,概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。,函数形式,倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数,一、倍数的函数 设有函数： Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差为mx，求Z的中误差mZ。,即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。,二、和或差的函数 设有函数： Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误差为mx、my，求Z的中误差m
8、Z。,即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方之和。,当z是一组观测值X1、X2Xn代数和（差）的函数时，即,可以得出函数Z的中误差平方为,式中mxi是观测值xi的中误差。n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。,当诸观测值xi为同精度观测值时，设其中误差为m，即 mx1=mx2=mxn=m则为这就是说，在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。,当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为mL，则每公里长度的量距中误差mKm也是相等的。当对长度为S公里的距离丈量时，全长的真误差将是S个一公里丈量真误差的代数和，于是
9、S公里的中误差为式中，S的单位是公里。 即：在距离丈量中，距离S的量距中误差与长度S的平方根成正比。,三、 线性函数,设线性函数为：,式中 为独立的直接观测值， 为常数， 相应的观测值的中误差为 。,对某ABC，不等精度观测了两个内角A、B，其值分别为： A=6421064 B=7035403 求C及其中误差。,解：C=180AB=450314 由于C=180AB， mC2=mA2+mB2=32+42=25 得，mC=5 所以，C=4503145,设非线性函数的一般式为：式中： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得,四、 一般函数,式中： 是函数F对 的
10、偏导 数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：,误差传播定律的一般形式,例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030求：水平距离D 解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差,1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中， 是用观测值代入求得的值。,求观测值函数中误差的步骤：,五、 运用误差传播定律的步骤,3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。,误差传播定的几个主要公式：,设在相同的观测条件下对未知量观测了n 次，观测值为l
11、1、l2ln，中误差为m1、 m2 mn，则其算术平均值（最或然值、似真 值）L 为：,一、 求最或是值,L,设未知量的真值为x，可写出观测值的真误差公式为（i=1，2，n） 将上式相加得或 故,推导过程：,由偶然误差第四特性知道，当观测次数 无限增多时，即 （算术平均值） 说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。,因为 式中，1n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mL，则有,二、 算术平均值中误差mL,由此可知，算术平均值的中误差为观 测值的中误差的 倍。,故,三、精度评定,第一公式,第二公式（白塞尔公式）,条件：观测值真值 x已知,条件：观测值真值x 未知，算术平均值L已知,其中 观测值改正数，,例题：设用经纬仪测量某个角6测回，观测之列于表中。试求观测值的中误差及算术平均值中误差。,算术平均值L中误差是：,
