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1、12015 年数学精编模拟题（理科）年数学精编模拟题（理科）一、选择题：一、选择题：1. 复数等于2i 1iA. B. C. D. 1 i1 i1 i 1 i 2. 已知全集，则等于U1,2,3,4,51,2,5A 2,3,5 UAA B C D2,32,532,3,53.已知，则的值为1sincos()3sin2A. B. C. D. 8 91 98 94 94已知命题：若是非零向量，是非零实数，则与方向相反；命题：则下列命paa aq| |aa题为真命题的是A. B. C. D. pqpq()pq()pq 5.从编号为 0,1,2，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5
2、 的一个样本，若编号为 42 的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为A.8 B.10 C. 12 D. 166. 图 1 是某几何体的三视图（单位：cm） ，正视图是等腰梯形，俯视图中的 曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形则该几何体的体积等于A. 28 cm3 B. 14cm3 C. 7cm3 D. 56cm3 7.函数，则下列结论正确的是 图 11 5 ,(0)( )51.(0)xxxf xx A.函数在其定义域内为增函数且是奇函数 B. 函数在其定义域内为增函数且是偶函数( )f x( )f xC. 函数在其定义域内为减函数且是奇函数 D. 函数在其定义域内为将函数且是偶函数( )
3、f x( )f x8.设非空集合M同时满足下列两个条件：1,2,3,1Mn；若aM，则naM，(2,)nnN.则下列结论正确的是 A. 若n为奇数，则集合M的个数为1 22n ； B. 若n为奇数，则集合M的个数为1 22n .C. 若n为偶数，则集合M的个数为22n ； D. 若n为偶数，则集合M的个数为221n ；二、填空题：二、填空题：9. 已知点 A和向量=（2,3） ，若，则点 B 的坐标为 . ( 1,5)a 3ABa 10.设随机变量服从正态分布,若,则 . (2,9)N(1)(1)PcPcc 2O BCDA11. 函数在 处取得最小值21( )32xf xexx 12. 已知方
4、程（是常数）表示曲线 C,给出下列命题：22 141xy mmm曲线 C 不可能为圆；曲线 C 不可能为抛物线；若曲线 C 为双曲线，则或；若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则.1m 4m 512m其中真命题的编号为 . 13设实数 x，y 满足条件，若的最小值为 0，则实数的最小值与最大值的和等于 22 1 2xy yx xy |axya （二）选做题（二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14 （极坐标与参数方程选讲选做题）（极坐标与参数方程选讲选做题）已知两曲线的参数方程分别为 ( 为参数)和1,1 2.xtyt t（为参数） ，则它们的交点坐标
5、为 sincos ,1 sin2 .xy 15. (几何证明选做题几何证明选做题)如图2，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知，BC=2AB，圆心 O 到 AC 的距离为，则点 A 与圆 O 上的点的最2 3AD 5短距离为 . 图 2三解答题：本大题共三解答题：本大题共6小题，满分小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. (本小题满分 12 分)在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为已知，,abc、2,4abcsin2sinAB（1）求ABC 的面积；（2）求tan()AB变式 1：在ABC 中，内角 A、B、C 的
6、对边分别为已知，sin2sinAB,abc、2221 2abcbc（1）求； （2）求cos Acos(2)AB变式 2：在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为已知向量,abc、(sin,sin),mAB，且，(1, 2),n (,)4cpab mn/ /np |5p （1）求ABC 的面积； （2）求cos()AB17.(本小题满分12分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其 中，频率分布直方图的分组区间分别为50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100)，据此解答如下问3题 （1）求全班人数及分数在80，100之间的频
7、率；（2）现从分数在80，100之间的试卷中任取份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在90，100的份数3 为 X ，求 X 的分布列和数学望期18. (本小题满分 14 分)已知如图 1 所示的四边形 ABCD 中，DAAB，点 E 为AD 中点，AD=EC=2AB=BC=2，现将四边形沿 CE 翻折，2使得平面 CDE 与平面 ABCE 所成的二面角为（） ，03连结 DA，DB，BE 得到如图 2 所示的四棱锥 D-ABCE （1）证明：平面 DAE平面 ABCE；（2）记四棱锥 D-ABCE 的体积为，当取得最大值时，求 DB 与平面 ABCE 所成角的正弦值VV变式 1：已知如图 1
8、 所示的四边形 ABCD 中，DAAB，点 E 为 AD 中点，AD=EC=2AB=BC=2，现将四2边形沿 CE 翻折，使得平面 CDE平面 ABCE，连结 DA，DB，BE 得到如图 2 所示的四棱锥 D-ABCE （1）证明：平面 BDE平面 BDC；（2）已知点 F 为侧棱 DC 上的点，若，1 5DFDC求二面角 F-BE-D 的余弦值备选：已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面为正三角形，111ABCABC为边的中点DAC（1）证明：平面；1/ /AB1BDC（2）当取何值时，？1AA AB11ABBC（3）当时，求平面A1C与平面A1CB所成锐二面角的余弦值. 11ABBC19 （本小
9、题满分 14 分）已知点，一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切，同22 122( 10),(1,0),:(1)1FFFxyA，时与4相外切，设动圆的圆心轨迹为曲线 T2FA（1）求曲线 T 的方程； （2）设 C、D 是曲线 T 上位于 x 轴上方的两点，分别过 C、D 作曲线 T 的切线，两条切线交于点 P，且分 别与 x 轴交于点 B、A，AC 与 BD 交于点 E，作 EFx 轴于点 F，试探究 P、E、F 三点是否共线？变式 1：已知点，一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与相外切，设22 122( 10),(1,0),:(1)1FFFxyA，2FA动圆的圆心轨迹为曲线 C，曲线 E
10、 是以为焦点的椭圆12FF、（1）求曲线 C 的方程；（2）记曲线 C 与曲线 E 在第一象限内的交点为 P，且，求曲线 E 的标准方程；17|3PF （3）定义：连结椭圆上任意两点所成的线段叫做椭圆的弦过椭圆 E 的右焦点作两条互相垂直的弦2FAB、GH，设 AB、GH 的中点分别为 M、N，试探究直线 MN 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若 不过定点，说明理由.20 （本小题满分 14 分）已知函数，其中为实数且1( )|2|f xkxbx, k b0k （1）当时，根据定义证明函数在上单调递增； 0k ( )yf x(, 2) （2）若为常数，函数有三个不同的零点，求的取值范围
11、k( )yf xb20.备选 1：已知数列的首项，前项和为，且.na14a nnS13240()nnSSnnN （1）求数列的通项公式；na（2）设函数，是函数的导函数，令，试探究数列2 11( )n nnf xa xaxa x( )fx( )f x(1)nbf是否存在最小值项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由 nb21(本小题满分 14 分)已知函数，数列满足， ，记32+3( )31xxf xx nx12x 1()nnxf x()nN1 3 11log ()1n n nxyx（1）求的值；（2）求数列的通项公式；1yny（3）证明：对，nN 12111(1)(1)(1)2nyyy21备
12、选：已知函数2 ( )ln(1) ,.2xf xaxax aR（1）当时，求函数 f (x)的最小值；1a 5（2）当时，讨论函数 f (x)的零点个数1a 参考答案参考答案一、选择题：一、选择题：BCAC BBAD.解析：8.取 n=4 验证易得.二、填空题：二、填空题：9.(5，14)；10. 2；11.；12. ；13. ；14.；15. 1ln32x 7 2(11)，21313. 的最小值为 0，等价为与约束区域有交点，|axy0axy作出不等式组对应的平面区域，如图易得：，maxmin13,2aa14两曲线的普通方程分别为，32 (1)yx x2(22)yxx由得或（其中不合舍去）由
13、得，2230xx1x 3x 3x 1x 1y 即两曲线的交点为.(1,1)三、解答题：三、解答题：16.解：（1）解法 1：由 sinA=2sinB，根据正弦定理得，2ab又 ，2,ab4,2ab由余弦定理得，22216 1647cos22 4 48acbBac 0，215sin1 cos8BBSABC= 1115sin4 415228acB 解法 2：由 sinA=2sinB，根据正弦定理得，2ab又 ，2,ab4,2ab，ABC 为等腰三角形，作底边 AC 的高 BD,D 为垂足，则 D 也是 AC 的中点，4ac，2222( )2bBDABADc16 115 SABC=.112151522AC BD (2) ,1cos04A 2115sin1 cos1164AA，,115sinsin28BAbcBC02B6,2157cos1 sin1648BB,15 sin4tan151cos 4AAA15 sin158tan7cos7 8BBBtantantan()1tantanABABAB15153 157 11151157 变式 1：（1），由，2221 2abcbc2221 12cos224bcbcaAbcbc（2），,cos A002A
