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1、1高二数学竞赛班一试讲义高二数学竞赛班一试讲义 第第 2 讲讲 数列求和与数列不等式数列求和与数列不等式班级班级 姓名姓名 一、知识要点：一、知识要点： 1公式法：适用于等差、等比数列求和或可转化为等差、等比数列求和的数列2错位相减法：若是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和， na nbnna bnnS常用错位相减法。 3分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列； 4裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只 剩有限项。 5倒序相加法：类似于等差数列前项和公式的推导方法n 6并项求和法：把数列的连续若干项并在一起组成一项，再求这些大项的和 7数列求
2、和不等式的证明方法：均值不等式法，利用有用结论，部分项放缩，添减项放缩， 利用单调性放缩，换元放缩，递推放缩，转化为加强命题放缩，分奇偶项讨论，数学归纳 法。 二、例题精析二、例题精析例 1 （1）已知数列的通项公式，求数列的前项的和。na2293 932nnnannnannS（2）已知数列的通项公式，求数列的前项的和。na12 (21)(21)nnnnanannS例 2数列数列：即正整数有个，自小到大排列而成， na1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,kk求及nanS例 3设，定义，求证：对一切正整数有10 aaaaaann1,111n. 1na2例 4 （1）已知，求证：。nan1(
3、)2n nb 1 1222nnaba ba b（2）已知函数，若，且在0，1上的最小值为，bxaxf211)(54) 1 (f)(xf21求证：（02 年全国联赛山东预赛题）年全国联赛山东预赛题）.21 21)()2() 1 (1nnnfff例 5在数列中，已知，求证： nx114,23(2)nnxxxn（1）； （2）。12333nnxx11223( )3( )33nn nx例 6 （1）求证求证. 12)1211 ()511)(311)(11 (nn（2 2）设）设求证：求证：ana211. 2,1 31anaa47na例 7已知数列已知数列的前的前项和项和满足满足nannS. 1,) 1
4、(2naSn nn（）求数列）求数列的通项公式；的通项公式；na（）证明：对任意的整数）证明：对任意的整数，有，有（04 年全国卷年全国卷）4m 8711154maaa3三、精选习题三、精选习题1已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则这两个na nbnnAnB53 21nnAn Bn数列的第九项之比 99a b2求和： 。12222143 43434343nnnnnn 3设数列满足，求证：。 na11a 11nnaan()nN112(1 1)nkkna 4 （07 年高赛一试）设，求证：当正整数时，11 (1)nn kak nk 2n 1nnaa5设数列设数列满足满足，当，当时证明对所有时
5、证明对所有 有有 naNnnaaannn12 131a, 1n； （0202 年全国高考题）年全国高考题）2)( nain21 11 11 11)(21naaaii6已知已知（1 1）用数学归纳法证明）用数学归纳法证明；（；（2 2）对）对112111,(1).2nnnaaann2(2)nan对对都成立，证明都成立，证明（无理数（无理数） （0505 年辽宁卷第年辽宁卷第 2222 题）题）ln(1)xx0x 2 nae2.71828e 47设数列满足，证明：。 nx21121,2n nnxxxxn20071004x8设，112 23a11(2)nnnaaa1,2,3,n 求证：1211112
6、2nnnaaa9在数列中,且成等差数列,成等比数列. ,nnab112,4ab1,nnna b a11,nnnb ab（1）求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;234,a a a234,b b b ,nnab（2）证明:.11221115 12nnababab10一个数列的前 5 项是 1,2,3,4,5，从第 6 项开始，每项比前面所有项的乘积少 1，证明： 此数列的前 70 项的乘积恰是它们的平方和。5高二数学竞赛班一试讲义高二数学竞赛班一试讲义 第第 2 讲讲 数列求和与数列不等式数列求和与数列不等式例 1 （1）， 222211111()932(32)(31)3 3231nann
7、nnnn 2 31nnSnn（2）， 11112(21)(21)11 (21)(21)(21)(21)(21)(21)nnnnnnnnnna11121nnS 例 2解析解析 用数学归纳法推用数学归纳法推时的结论时的结论，仅用归纳假设，仅用归纳假设及递推式及递推式1 kn11na1ka是难以证出的，因为是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：出现在分母上！可以逆向考虑：aaakk11ka故将原问题转化为证明其加强命题：故将原问题转化为证明其加强命题：.1111 1aaaaak kk对一切正整数对一切正整数有有（证明从略）（证明从略）n.111aan例 3解：先对正整数分段，第一段 个数，第
8、二段个数，第三段个数，第段有123k个数，而前段项数和为，前段项数和为，kk(1)1232k kk 1k (1) 2k k 如果，那么，于是，当给定时，由此式解得，nak(1)(1)122k kk kn n，注意，于是等于181187 22nnk 1871810122nn k的整数部分，即，也就是，187 2n187 2nk 187 2nna 由于数列第段由个组成，其和为，因此数列前段的总和为kkk2k1k ；222 1(1)2(1)(21)12(1)6k kk kkSk 由于位于第段的第个数，而这些项全是，因此，nakk1(1)2nk kk1(1)21(1)(21)1(1)(1)262nk
9、kk kkSSnk kknk kk ；其中21(1)6nkk k187 2nk 例 4(1)令，则1 122nnnSaba ba b231111112 ( )3 ( )(1) ( )( )22222nn nSnn 2341111111( )2 ( )3 ( )(1) ( )( )222222nn nSnn 两式相减，623411111111( )( )( )( )( )2222222nn nSn 1111 ( )( )122nnn A2nS （2）简析）简析 )2211 ()() 1 ()0(22114111414)(nffxxfxxxx .21 21)21 211 (41)2211 ()22
10、11 (112nnnnn例 5 （1）1 11 1262323333233n nnn nxxxxx （2），211 121222233( )3( )3( )3333nn nnnxxxx 所以11223( )3( )33nn nx例 6 （1）简析简析 本题可以利用的有用结论主要有：本题可以利用的有用结论主要有：法法 1 1 利用假分数的一个性质利用假分数的一个性质可得可得)0, 0(mabmamb ab122 56 34 12 nnnn 212 67 45 23) 12(212 65 43 21nnn即即12)122 56 34 12(2nnn. 12)1211 ()511)(311)(11
11、(nn法法 2 2 利用贝努利不等式利用贝努利不等式的一个特例的一个特例)0, 1, 2,(1)1 (xxnNnnxxn(此处此处)得得 12121)1211 (2 kk121, 2kxn )1211 (1212 1211 1kkk knk. 1212121 nkknk注：注：例例 4 是是 1985 年上海高考试题，以此题为主干添年上海高考试题，以此题为主干添“枝枝”加加“叶叶”而编拟成而编拟成 1998 年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明证明(可考虑用贝努利不等式可考虑用贝
12、努利不等式的特例的特例) . 13)2311 ()711)(411)(11 (3nn3n（2 2）解析）解析 又又ana211.1 31 2111 31222nnaa（只将其中一个（只将其中一个变成变成，进行部分放缩），进行部分放缩） ，2),1(2kkkkkkk1k，kkkkk1 11 ) 1(112于是于是)1 11()31 21(4111 31 211222nnnan471 47n例 7 简析简析 （） ；.) 1(23212nn na（）由于通项中含有）由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：，很难直接放缩，考虑分项讨论：n) 1(当当且且为奇数时为奇数时3nn 122222 23
13、)121 121(231121321212 1 nnnnnnn nnaa（减项放缩）（减项放缩） ，于是，于是)21 21(23 222 23123212 nnnnn当当且且为偶数时为偶数时4mmmaaa11154)11()11(11654mmaaaaa7.87 83 21)211 (41 23 21)21 21 21(23 214243mm当当且且为奇数时为奇数时（添项放缩）（添项放缩）4mmmaaa111541541111mmaaaa由由知知由由得证。得证。.871111154mmaaaa1 提示： 8 399a b17175 1738 2 17 13A B2提示： 首项为，公比为。共项求和，1143nn4n3 41n3，两式相减，11nnaan1nnaan111nnnnaaaa所以，则111nn naaa111(2)kk kaaka1211 121111112nnnnnn kkkkaaaaaaaaaa 1222(1 1)nnaan 4证明：法 1：由于， 1
