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1、1抽象函数性质综述抽象函数性质综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义一、基本定义1 1、定义、定义 1 1：（周期函数）对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域的每一个值时，( )f xTx都有，那么，函数就叫做
2、周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.()( )f xTf x( )f xT2 2、定义、定义 2 2：（同一函数图象的对称性）若函数图象上任一点关于点（或直线 ）的对称点仍)(xfy Pl在函数的图象上，则称函数的图象关于点（或直线 ）对称.)(xfy )(xfy Pl3 3、定义、定义 3 3：（两个函数图象的对称性）若函数图象上任一点关于点（或直线 ）的对称点在)(xfy Pl函数的图象上；反过来，函数图象上任一点关于点（或直线 ）的对称点也在函数( )yg x( )yg xPl的图象上，则称函数与的图象关于点（或直线 ）对称.)(xfy )(xfy ( )yg xPl二、关于周期性、对
3、称性的几个基本结论及证明二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数的定义域为，且恒成立，则函数是以为周期)(xfy R()()f axf xb)(xfy Tab的周期函数；2、若函数的定义域为，且恒成立，则函数的图象关于直线)(xfy R()()f axf bx)(xfy 对称；2abx3、若函数的定义域为，且恒成立，则函数的图象关于点)(xfy R()()f axf bx )(xfy 对称；(,0)2ab4、若函数的定义域为，且恒成立，则函数是以为周)(xfy R()()f axf xb )(xfy 2()Ta b期的周期函数；5、若函数的定义域为，则函数与的图象关于直线对称；)(
4、xfy R()yf ax()yf bx2bax6、若函数的定义域为，则函数与的图象关于点对称.)(xfy R()yf ax()yf bx (,0)2ba略证：略证：1、，函数是以为周期()f xab()fxba()( )fxbbf x)(xfy Tab的周期函数.22、函数图象上的任一点（满足）关于直线的对称点为)(xfy 00(,)P xy00()f xy2abx，00(,)Q abx y 00()()f abxfbxa000()()f bbxf xy点仍在函数的图象上，从而函数的图象关于直线对称.Q)(xfy )(xfy 2a bx3、函数图象上的任一点（满足）关于点的对称点为)(xfy
5、00(,)P xy00()f xy(,0)2ab，00(,)Q abxy 00()()f abxfbxa000()()f bbxf xy 点仍在函数的图象上，从而函数的图象关于点对称.Q)(xfy )(xfy (,0)2a b4、(22 )(2 )f xabfxaba(2 )()fxabbf xab ,函数是以为周期的周期函数.()()( )fxbafxbbf x )(xfy 2()Tab5、函数图象上的任一点（满足）关于直线的对称点为()yf ax00(,)P xy00()f axy2bax，00(,)Q bax y 000()()f bbaxf axy点在函数的图象上；反之函数的图象上任一
6、点关于直线的对称Q()yf bx()yf bx2bax点也在函数图象上.从而函数与的图象关于直线对称.()yf ax()yf ax()yf bx2bax6、函数图象上的任一点（满足）关于点的对称点为()yf ax00(,)P xy00()f xy(,0)2ba，00(,)Q baxy 000()()f bbaxf axy 点在函数的图象上；反之函数的图象上任一点关于点的对Q()yf bx ()yf bx (,0)2ba称点也在函数图象上.从而函数与的图象关于点对称.()yf ax()yf ax()yf bx (,0)2ba三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论三、关于周期性、对称性的若干
7、易混淆的常用结论1、若函数满足，则函数的图象关于轴对称；函数和函数)(xfy ( )()f xfx)(xfy y)(xfy 的图象也关于轴对称.()yfxy2、若函数满足，则函数的图象关于原点对称；函数和函数)(xfy ( )()f xfx )(xfy )(xfy 的图象也关于原点对称.()yfx 3、若函数满足，则函数的图象关于轴对称；而函数)(xfy ()()f x af ax)(xfy y和函数的图象关于直线对称.()yf xa()yf axxa4、若函数满足，则函数的图象关于原点对称.而函数和)(xfy ()()f x af ax)(xfy ()yf xa函数的图象关于点对称.()yf
8、 ax ( ,0)a5、若函数满足，则函数的图象关于直线对称；而函数)(xfy )()(xmfxmf)(xfy mx 3和函数的图象关于轴对称.()yf mx()yf mxy6、若函数满足，则函数的图象关于点对称；而函数)(xfy )()(xmfxmf)(xfy )0 ,(m和函数的图象关于原点对称.()yf mx()yf mx 7、若函数满足，则函数的图象关于直线对称；函数)(xfy ( )(2)f xfbx)(xfy xb和函数的图象也关于直线对称.( )yf x(2)yfbxxb8、若函数满足，则函数的图象关于点对称；函数和)(xfy ( )(2)f xfbx )(xfy ( ,0)b(
9、 )yf x函数的图象也关于点对称.(2)yfbx ( ,0)b9、若函数满足，则函数是以为周期的周期函数；若函数)(xfy ()()f mxf xm)(xfy 2Tm满足，则函数是以为周期的周期函数.)(xfy ()()f mxf xm )(xfy 4Tm四、函数周期性与对称性的关系四、函数周期性与对称性的关系1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数R( )f xxa()xb abx同时满足，则函数是以为周期的周期( )f x()()f axf ax()()f bxf bx( )f x2()Tab 函数.2、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数
10、R( )f x( ,0)a( ,0)()babx同时满足，则函数是以为周期的周期( )f x()()f axf ax ()()f bxf bx ( )f x2()Tab 函数.3、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数R( )f xxa( ,0)()babx同时满足，则函数是以为周期的周期函( )f x()()f axf ax()()f bxf bx ( )f x4Tab数.略证：略证：1、=2()f xab(2 )f axab(2 )f axab(2)fbx，函数是以为周期的周期函数.()f bbx()( )f bbxf x)(xfy 2()Tab2、3 同理可证.五
11、、函数周期性、对称性与奇偶性的关系五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时R( )f xxa2xax( )f x满足，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.()()f axf ax(2)(2)faxfax( )f x2Ta2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同R( )f xxa(2 ,0)ax( )f x时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是奇()()f axf ax(2)(2)faxfax ( )f x4Ta函数.3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同R( )f x
12、( ,0)a2xax( )f x时满足，则函数是以为周期的周期函数，且是偶()()f axf ax (2)(2)faxfax( )f x4Ta函数.44、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时R( )f x( ,0)a(2 ,0)ax( )f x满足，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函()()f axf ax (2)(2)faxfax ( )f x2Ta数.5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则( )f xxax( )f x()()f axf ax是以为周期的周期函数.( )f x2Ta6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则( )f
13、 x( ,0)ax( )f x()()f axf ax 是以为周期的周期函数.( )f x4Ta7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则( )f xxax( )f x()()f axf ax是以为周期的周期函数.( )f x4Ta8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则( )f x( ,0)ax( )f x()()f axf ax 是以为周期的周期函数.( )f x2Ta略证：略证：1、由上述四中的第 1 点即可得函数是以为周期的周期函数,( )f x2Ta又()fx()f axa()f axa(2)fax(2)fax()f aax()( )f aaxf x函数是
14、偶函数.)(xfy 2、3、4 同理可证.5、6、7、8 可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论六、其它结论1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.()yf xa)(xfy xa2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.()yf xa)(xfy ( ,0)a注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. .3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根R( )f x()()f axf ax( )0f x 2n2n的和为.2na4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于R)(xfy ()()( , ,)f axf bxc a b c为常数)(xfy 点对称.(, ) 22a b c略证；任取，令，则，xR12,xax xbx 12xxab12()()f xf xc由中点公式知点与点关于点对称.由的任意性，知函数的图11( ,()xf x22(,()xf x(, )22ab cx)(xfy 象关于点对称.(, )22ab c5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数） yf xxa5,，则是以为周期的周期函数； f xf xa yf xTa，则是以为周期的周期函数；
