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1、1导数应用导数应用“恒成立问题恒成立问题”练习练习1. 已知函数( )lnf xxx（I）求函数( )f x的单调递减区间；（II）若2( )6f xxax 在(0,)上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点2(,0)Ae作函数( )yf x图像的切线，求切线方程解解（）( )ln1fxx( )0fx得ln1x 10xe 函数( )f x的单调递减区间是1(0, )e； （）2( )6f xxax 即6lnaxxx设6( )lng xxxx则2226(3)(2)( )xxxxg xxx 当(0,2)x时( )0g x ，函数( )g x单调递减；当(2,)x时( )0g x ，函数( )g
2、 x单调递增； ( )g x最小值(2)5ln2g实数a的取值范围是(,5ln2； （）设切点00(,)T xy则0()ATkfx00 002lnln11xxx xe 即2 00ln10e xx 设2( )ln1h xe xx，当0x 时( )0h x ( )h x是单调递增函数 ( )0h x 最多只有一个根，又2 222111()ln10heeee 021xe切线方程为2212(,),1,Tkee 222211()0yxxyeee 即2.（1）求函数在点处处的切线方程；lnyx(1,0)（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；ln1xax(0,)xa（3）已知.若存在,使得xxxgaxx
3、xfln1)(,)1(21)() 1(,1,21aaa,求实数的取值范围。3| )()(|21gfa解：解：（1）01 yx（2）法一：原问题等价于对恒成立，即axx1ln), 0( xmaxln1()xax令，由得), 0(,1ln)(xxxxg2ln( )0xg xx1x1,( )0;1,( )01xfxxfxx 时时是极大值点所以，即。max( )(1)1,g xg1a), 1 a2法二：原问题等价于函数的图像恒在函数的图像的下方，临界情xyln1 axy况是与相切。xyln1 axy设函数的切点为，则，所以，又切点在xyln)ln,(00xxax01 ax10，所以，所以，则。1 ax
4、y0111ln00aaaxx10x1a所以，对恒成立时，。ln1xax(0,)x), 1 a（3）原问题等价于: 存在，使得，则只需,1,21aa3)()(321gf，即。 3)()(3)()(maxmin xgxfxgxfminmaxmaxmin( )( )3( )( )3f xg xf xg x 由得，,1,)1(21)(aaxaxxxfmin( )(1)1,f xfa ，则。131( )( )22aff aaa因为max31( )22af xa由得 1( )0xg xx1x1,( )0;1,( )0xfxxfx时时所以，。1x 是极小值点min( )(1)0g xg,ln1)(,ln11
5、)1(aaagaaag因为，21112 ln( )( )2lnaaagg aaaaaa2( )12 ln (1)( )22ln22(1 ln )0, (1)0h aaaa ah aaaaah 设max11( )(1)0( )( )0( )( )( )( )1 ln .h ahgg ag agg xg aaaaa 所以得，即 , 30)21 23(, 3)ln1()1 (, 1aaaaaa1,a ae ea 1即的范围是。a(1, e（注意：，用了第（2）问结论）( )22ln22(1 ln )0h aaaaa 3.已知函数是定义在上的奇函数,当时, ( )f x ,00,ee0,xe(其中e是
6、自然界对数的底,)( )lnf xaxxaR（1）求的解析式;( )f x3（2）设，求证：当时，且，恒成立；ln( ),0xg xxex 1a 0 , ex1( )( )2f xg x（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ,0xe ( )f x？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。解：解：（1）设，则，所以又因为是定义在,0)xe (0, xe ()ln()fxaxx ( )f x上的奇函数，所以 ,0)(0, ee( )()ln()f xfxaxx 故函数的解析式为( )f xln(),0)( )ln ,(0, axx xef xaxx xe （2）证明：当且时，设,
7、0)xe 1a ln()( )ln(), ( )xf xxx g xx 因为，所以当时，ln()1( )2xh xx11( )1xfxxx 1ex ，此时单调递减；当时，此时单调( )0fx( )f x10x ( )0fx( )f x递增，所以 又因为，所以当min( )( 1)10f xf 2ln() 1( )xh xx时，此时单调递减，所以0ex ( )0h x( )h xmaxmin1111( )()1( )222h xhef xe 所以当时，即 ,0)xe ( )( ),f xh x1( )( )2f xg x（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，a,0)xe ( )ln()
8、f xaxx则11( )axfxaxx（）当，时，在区间上单调递增，0a ,0)xe 1( )0fxx ( )f x,0)e来源:学( )f x5（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围。0p 0x ( )0f x p解：解：（1） ，的定义域为( )ln1f xxpx( )f x(0,)，当时，在 上无极值点./11( )pxfxpxx0p /( )0fx ( )f x(0,)当，令、随的变化情况如下表：0p 时1( )0,(0,),( )fxxfxp( )f xx从上表可以看出：当p0时，f(x)有唯一极大值点.1xp(2)由（1）可知，当p0时，f(x)在处取极大值，此极大值也是最大1
9、xp11()lnfpp值。要使f(x)0恒成立，只需0.解得p,故p的取值范围为。11()lnfpp11,)6.已知函数xxaxxfln)(（1）当时，函数的图像在点处的切线方程；1a)(xf)1 (, 1 (fP（2）当时，解不等式；0a0)(xf（3）当时,对,直线的图像下方.求整数 1a），（ 1x)() 1(xfyxky恒在函数k的最大值.解：解：（1），当时切线 12),1(21xyxy（2）), 0(, 0ln0)(aexxaxf（3）当时,直线的图像下方，得），（ 1x)() 1(xfyxky恒在函数问题等价于对任意恒成立. 1)( xxfk1x当时，令，令，x1(0,)p1 p
10、1(,)p/( )fx+0 -( )f x递增极大值递减6故在上是增函数由于, 03ln1)3(h04ln2)4(h所以存在，使得0ln2)(000xxxh则；，0)(), 1 (0xhxx时，0)(0xhxx）时，即；0)(), 1 (0xgxx时，0)(0xgxx）时，知在递减，递增), 1 (0x）， 0(x又 ，所以=3 7.已知函数=3231()2axxxR，其中a0. )(xf（）若a=1，求曲线在点处的切线方程；)(xfy )2(, 2(f（）若在区间1 1,2 2上，恒成立，求a的取值范围。0)(xf解：解：（）当a=1时，f（x）=323xx12，f（2）=3；f(x)=23
11、3xx, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）f(x)=2333 (1)axxx ax.令f(x)=0，解得x=0或x=1 a.以下分两种情况讨论：（1）若110a2a2，则，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X102，01 20，f(x)+0-f(x)极大值当1 1xfx2 2 ，时，（）0等价于5a10,()0,82 15a( )0,0.28ff即 解不等式组得-52，则110a2.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01 a0，1 a1 1 a 2，f(x)+0-0+f(x)A极大
12、值A极小值A当1 1x2 2 ，时，f（x）0等价于1f(-)2 1f()0,a 0, 即25 8 11-0.2aa 0,解不等式组得252a或2 2a .因此2，即当时，当时， 10.已知函数（）若曲线y=f(x)在点P（1，f(1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；（）若对于任意成立，试求a的取值范围；（）记g(x)=f(x)+x-b(bR).当a=1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围。解：解：（）直线y=x+2的斜率为1， 函数f(x)的定义域为 因为，所以，所以a=1所以由解得x2 ; 由解得01，由解得0x1所以函数g(x)在区间上有两
13、个零点，所以 解得所以b得取值范围是 )(xf的单调递减区间为12,(aa ，), 0 ；单调递增区间为0 ,12aa . 11.已知函数（aR，e为自然对数的底数）( )(2)(1)2lnf xa xx，（）当a1时，求的单调区间；( )f x（）若函数在上无零点，求a的最小值。( )f x1(0, )2解：解：（I）当21,( )12ln ,( )1,af xxxfxx 时则由由( )0,2;fxx得( )0,02.fxx得故( )0,2 ,2,.f x的单调减区间为单调增区间为（II）因为上恒成立不可能，1( )0(0, )2f x 在区间故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，1( )(0, )2f x 在1(0, ),( )02xf x11即对恒成立。12ln(0, ),221xxax令2ln1( )2,(0, ),12xl xxx则2222(1)2ln2ln2 ( ),(1)(1)xxxxxl xxx 2221( )2ln2,(0, ),2 222(1)( )0,m xxxx xm xxxx 再令则11( )(0, ),( )( )
