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1、1第一章第一章 导数及其应用导数及其应用一，一，导数的概念导数的概念1已知已知的值是（的值是（ ）xfxf xxf x )2()2(lim,1)( 0则A. B. 2 C. D. 24141变式变式 1：（ ） 为则设hfhffh233lim,430A2C3D1变式变式 2：（ ） 00 003,lim xf xxf xxf xxx 设在可导则等于ABCD 02xf 0xf 03xf 04xf 导数各种题型方法总结导数各种题型方法总结请同学们高度重视：请同学们高度重视： 首先，首先，关于二次函数的不等式关于二次函数的不等式恒成立恒成立的主要解法：的主要解法： 1、分离变量；、分离变量；2 变更
2、主元；变更主元；3 根分布；根分布；4 判别式法判别式法 5、二次函数区间最值求法：（、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在）端点处和顶点是最值所在其次，其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒不等式恒 成立问题成立问题”以及以及“充分应用数形结合思想充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归
3、的基 础础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令第一步：令得到两个根；得到两个根；0)(xf 第二步：画两图或列表；第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；第三步：由图表可知；其中其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（
4、0,=0,kf(x)k 对对 xIxI 时恒成立时恒成立f(x)mink,f(x)mink, xI.xI. 此题常见的错误解法：由此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)minf(x)maxg(x)min 解出解出 k k 的取值范围的取值范围. .这种解法的错误在于这种解法的错误在于 条件条件“f(x)maxg(x)min”“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. . （2 2）根据题意可知，）根据题意可知， （2 2）中的问题等价于）中的问题等价于 h(x)=h(x)= g(x)g(x)f(x)f
5、(x) 00 在在 x-3,3x-3,3时有解时有解, ,故故h(x)max0.h(x)max0. 由（由（1 1）可知）可知h(x)max=h(x)max= k+7k+7，因此，因此 k+70k+70，即，即 k7,+).k7,+). (3)(3)根据题意可知，根据题意可知， （3 3）中的问题等价于）中的问题等价于f(x)maxg(x)minf(x)maxg(x)min，x-3,3.x-3,3. 由二次函数的图像和性质可得由二次函数的图像和性质可得, , x-3,3x-3,3时时, , f(x)max=120f(x)max=120k.k. 仿照（仿照（1 1） ，利用导数的方法可求得，利用
6、导数的方法可求得 x-3,3x-3,3时时, , g(x)min=g(x)min=21.21. 由由 120120kk2121 得得 k141,k141,即即 k141,+).k141,+). 说明：这里的说明：这里的 x1,x2x1,x2 是两个互不影响的独立变量是两个互不影响的独立变量. . 从上面三个问题的解答过程可以看出从上面三个问题的解答过程可以看出, ,对于一个不等式一定要看清是对对于一个不等式一定要看清是对“x”x”恒成立，还恒成立，还是是“x”x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,
7、,然后再根据然后再根据不同的情况采取不同的等价条件不同的情况采取不同的等价条件, ,千万不要稀里糊涂的去猜千万不要稀里糊涂的去猜 二、相关类型题：二、相关类型题：一一 、型；型；“( )“af x10形如形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“( )“,“( )“af xaf x在在上恒成立，则上恒成立，则在在 xD 上恒成立，则上恒成立，则( )af xxD max( )();af xxD( )af x”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.min( )();af xxD例
8、例 1 ：已知二次函数：已知二次函数，若，若时，恒有时，恒有，求实数，求实数 a 的取值范围的取值范围.2( )f xaxx0,1x|( )| 1f x 解：解：，；即；即；|( )| 1f x 211axx 211xaxx 当当时，不等式显然成立，时，不等式显然成立， aR.0x 当当时，由时，由得：得：，而，而01x211xaxx 221111axxxxmin211()0xx. . 又又，综上得，综上得 a 的范围是的范围是0a max211()2xx 2,20aa 。 2,0a 二二 、型型12“ ()( )()“f xf xf x例例 2 已知函数已知函数，若对，若对，都有，都有成立，
9、成立，( )2sin()25xf xxR12“ ()( )()“f xf xf x则则的最小值为的最小值为_.12|xx解解 对任意对任意 xR，不等式，不等式恒成立，恒成立，12()( )()f xf xf x分别是分别是的最小值和最大值的最小值和最大值.12(),()f xf x( )f x对于函数对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期，即半个周期.sinyx又函数又函数的周期为的周期为 4，的最小值为的最小值为 2.( )2sin()25xf x12|xx三三 、.型型1212()()“ ()“22xxf xf xf例例 3
10、： (2005 湖北湖北)在在这四个函数中，当这四个函数中，当2 22 ,log 2 ,cosyx yx yxyx时，使时，使恒成立的函数的个数是恒成立的函数的个数是( )1201xx1212()()“ ()“22xxf xf xfA.0 B.1 C.2 D.3解：本题实质就是考察函数的解：本题实质就是考察函数的凸凹性凸凹性，即满足条件，即满足条件的函数，的函数，1212()()“ ()“22xxf xf xf应是凸函数的性质，画草图即知应是凸函数的性质，画草图即知符合题意；符合题意；2log 2yx四四 、.型型1212()()“0“f xf x xx例例 4 已知函数已知函数定义域为定义域
11、为，若，若，时，都有时，都有( )f x 1,1(1)1f, 1,1m n 0mn，若，若对所有对所有，恒成立，求实数恒成立，求实数 取取( )( )“0“f mf n mn2( )21f xtat 1,1x 1,1a t值范围值范围.解：任取解：任取，则，则，由已知，由已知1211xx 12 1212 12()()()()()f xf xf xf xxxxx，又，又，f，即，即在在上为增函数上为增函数.1212()()0f xf x xx120xx12()()0f xf x( )f x 1,1，恒有，恒有；(1)1f 1,1x ( )1f x 要使要使对所有对所有，恒成立，即要恒成立，即要恒
12、成恒成2( )21f xtat 1,1x 1,1a 221 1tat 立，立，故故恒成立，令恒成立，令，只须，只须且且，220tat2( )2g aatt ( 1)0g (1)0g解得解得或或或或。2t 0t 2t 评注：评注： 形如不等式形如不等式或或恒成立，实际上是函数的恒成立，实际上是函数的1212()()“0“f xf x xx1212()()“0“f xf x xx单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.五五 、.型：型：“ ( )( )“f xg x例例 5： 已知已知，若当，若当时，
13、时，)恒成恒成1( )lg(1)2f xx( )lg(2)g xxt0,1x( )( )f xg x立，求实数立，求实数 t 的取值范围的取值范围.解：解：在在恒成立，即恒成立，即在在恒成立恒成立( )( )f xg x0,1x120xxt 0,1x在在上的最大值小于或等于零上的最大值小于或等于零.12xxt 0,111令令，( )12F xxxt 1 41( )21xF xx0,1x，即，即在在0,1上单调递减，上单调递减，F(0)是最大值是最大值.( )0F x ( )F x，即，即。( )(0)10f xFt 1t 六六 、型型12“ ()()“f xg x例例 6：已知函数：已知函数，
14、若对任意，若对任意，都，都32149( )3, ( )332xcf xxxxg x 12, 2,2x x 有有，求，求的范围的范围.12()()f xg xc解：因为对任意的解：因为对任意的，都有，都有成立，成立，12, 2,2x x 12()()f xg x，令，令得得x3 或或 x-maxmin ( ) ( )f xg x2( )23fxxx( )0fx 3,1xx 1；得得；在在为增函数，在为增函数，在为减函数为减函数.( )0fx 13x ( )f x 2, 1 1,2，.，。( 1)3,(2)6ff max ( )3,f x1832c 24c 七七 、（ 为常数）型；为常数）型；12“|()()|“f xf xtt例例 7 ：已知函数：已知函数，则对任意，则对任意（）都有）都有43( )2f xx
