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1、,第二章 线性系统的运动分析本章主要对线性动态系统的行为特性进行分析。系统分析包括定性分析和定量分析。定性分析主要研究系统的稳定性，能控性和能观测性等一般性质，定量分析主要确定习题在外部激励作用下的运动（响应）特性，本章研究状态空间描述下线性系统的运动行为，即进行习题的定量分析。,2.1 线性定常系统的运动分析 2.2 线性定常系统的状态转移矩阵及脉冲响应矩阵 2.3 线性时变系统的运动分析 2.4 线性离散时间系统 2.5 线性离散时间系统的运动分析,2.1线性定常系统的运动分析考虑如下的线性定常系统（2.1）根据微分方程理论，如果方程（2.1）满足 条件，则对给定的 初始条件及分段连续输入
2、 ，状态方程的解 唯一确定，且连续地依赖于初始条件 。,齐次状态方程及其解 当外部输入 时，（2.2）式（2.2）称为齐次状态方程。仿照标量指数函数，定义如下的矩阵指数函数这里 为 常阵， 为 时变矩阵,对于线性定常系统（2.2），状态解由下式给出（2.2）现在给予证明，设式（2.2）的解 可展为如下的向量幂级数，即该式满足方程式（2.2）故,上式左右两边 的系数向量应相等，则得到这样， 可表示为,考虑到当 时， ，于是从前面的讨论知，矩阵指数 对方程（2.2）的解具有重要作用，它可以看作是一种线性算子，将系统的初始状态 经时间 后变换为 。对式（2.2）进行拉氏变换有,故于是 （2.5）式（
3、2.5）给出了 的闭合形式，间接表明 的幂级数是收殓的。,矩阵指数的基本性质 （1）（2）令 和 为两个自变量，且满足（3） 为非奇异矩阵，且满足（4） 满足微分方程,且有 （5）对于给定方阵 ，（6） 满足积分关系 为常数阵。（7）对 常阵 ， ，若 ，即 和 是可交换的，则,矩阵指数 的计算方法方法1（级数展开法）：根据矩阵指数的定义一般可取有限时间函数项之和满足给定的精度要求即可。若 的最大特征值与最小特征值相差不大时，这种方法可以得到较好的效果。为了适合计算机计算， 可以写成如下的递推关系式,赋 与 的计算结果满足给定精度时，则 可表示为 项之和。方法2（非奇异变换法）：若 的 个特征
4、值 为两两相异，则存在非奇异变换矩阵 使矩阵指数 满足（2.6）,当矩阵 仅含 个不同的重特征值时，只能化为约当型，则存在非奇异变换矩阵 使得为约当型矩阵，矩阵指数 为（2.7） 这时,现举例说明如下其中,经计算,方法3（ 近似法）这种方法实际是用有限多项式逼近的一种逼近算法，按照矩阵指数 的定义，对任意将 划为 个小区间，令 故只要计算出 值就可以了。,显然 (2.8) 提出用下式逼近（2.8）式 (2.9)式（2.7）为一阶近似表达式。由 ，令 及 ,可将（2.9）式展为级数,二阶和三阶 近似表达式为 （2.10）（2.11）,它们的级数展开式分别为分别有前3、5、7与式（2. 8）对应相
5、同。,方法4（拉普拉斯变换法） 已知式中 称为预解矩阵，当维数较低时，直接求逆是方便的，但当维数较高时，求逆计算甚难，Faddeev给出了一种递推求法。令,其中 为系统的特征多项式， 为伴随阵。 和 由下面的递推关系给出,式中 表示矩阵 的迹。,证明 伴随阵 还可表示为其中 表示 的代数余子式。对式（2.12）两边取迹,再看 对 的导数。由于行列式的导数等于逐列求导所得行列式之和，故有,考虑到上式两端取迹,上式两边对应 项的系数应相等。则即 另一方面，式（2.12）两边同乘 ，有,即 比较上式两边对应 项的系数，得到于是式（2.13）的证。,由上述的Faddeev算法可以看到，求预解矩阵 避免
6、了求逆运算，非常适合于计算机迭代计算，这无疑对求矩阵指数函数带来了极大的方便。方法5（多项式表示法）：把 表为 的多项式，即,其中，当 的特征值为两两相异时 ， 可方便地用下式计算 （2.15）若 包含有重特征值，则计算比较复杂，现在举例加以说明。,设 的 个特征值中， 为三重特征值， 为二重，其余为相异特征值，这时 由下式确定,上面各种关系的证明见参考资料4。例2.1 已知系统矩阵 为试计算矩阵指数 。解 由于 二级矩阵，用方法4.,最后结果为若用方法2，则首先求 的特征值，因故 。使对角化的非奇异变换阵,这样，矩阵指数函数 为,若用方法5， 的特征值 ，则矩阵指数函数为,非齐次状态方程的解
7、前面讨论了齐次状态方程的运动规律，现在考察具有外部作用 的时系统的状态运动规律，状态方程如下为了求得（2.17）式的解，研究如下等式,上式从0到t进行积分，（2.18）式（2.18）的物理意义非常密明确，系统的解有两个部分组成，其中第一项是由初始状态引起的，通常将其称之为零输入响应；第二项是控制输入作用下的受控项，一般称之为零状态响应。也就是说，系统的解是由零输入响应和零状态响应组成。,显然，系统的初始状态 对系统的状态的影响是固定不变的，而要使系统的状态按期望的方式运动，以满足系统的设计目标，必须通过选择控制输入函数 来实现。这一思想不但是系统运动分析的目的，也是以后对系统进行综合设计的依据
8、。,2.2 线性定常系统的状态转移矩阵及脉冲响应矩阵状态转移矩阵 初始状态引起的系统自由运动可用状态转移矩阵来表征，它是初始状态 到状态 的一个线性变换。零状态响应也与状态转移矩阵有关。已知线性定常系统齐次方程的解为 ， 便是状态转移矩阵的一种表达式，但线性定常系统的状态转移矩阵通常不能表示为 ，,有必要建立适应与定常及时变的统一的表达式，为此从齐次状态方程的一般解法入手引入基本解阵概念，来导出状态转移矩阵的一般表达式。 众所周知，纯量微分方程 的通解为指数式 式中 为特征值， 为与初始条件有关的常数。对于向量微分方程 ，其解也具有类似的指数式：,改解自然应满足原微分方程，即 由于 ，故有 ，
9、该式为特征向量方程， 为矩阵 的特征值， 为与 对应的特征向量。解 表明，可用一个特征值及其对应的特征向量来表示，它是 的一个解，称为基本解。当 有 个相异特征值 时，对应有 个特征向量 ，故 都是 的解，且称为解向量，,由线性代数理论知识可知，任意两个解向量的线性组合仍是解向量，这里取 做为一个基本解组。有特征向量的线性无关性可知 也线性无关。基本解组的线性组合 ，也是 的解且称为通解，式中 为不全为零的实常数，与初始条件有关，有,由基本解组构成的非奇异矩阵 （2.19a） 称为的一个基本解阵。用该基本解阵表示通解有 （2.19b）当 时 ， ，当 时,故 或 （2.20）该解显然应满足 ，
10、于是可导出基本解阵微分方程为或 （2.21）初始状态至状态的线性变换定义为状态转移矩阵，记为 或,由式（2.20）可确定状态转移矩阵与基本解阵的关系为或 （2.22） 该解与 的选取无关。由式（2.22）和式（2.21）可导出 也满足 ，即或 （2.23）,由于矩阵指数 满足 ，且 ，故 也是一个基本解阵且是状态转移矩阵， 亦然。于是有 （2.24） 状态方程的解可表示为 （2.25） 或,状态转移矩阵的性质（1）（2）（3）（4）（5）（6） ；且有,脉冲响应矩阵 满足因果律的线性定常系统，在初始松弛的条件下，其输入输出关系可用系统的单位脉冲响应阵描述。设系统具有 个输入， 个输出，则脉冲响
11、应阵为 矩阵 （2.26）,且 和 式中 表示在第 个输入端加一单位脉冲函数，而其它输入为零时，在第 输出端的响应。 （2.27）引入变量置换，令 ，式（2.27）还可表示为 （2.28）,现在讨论脉冲响应阵 与状态空间描述和状态转移矩阵的关系。考虑线性定常系统 （2.29）其中， 分别为 实值常阵。其脉冲响应矩阵为 （2.30） 或 （2.31）,这里 为单位脉冲函数。考虑到 ，故（2.32） 和（2.33）上述关系可容易地由系统解的表达式得到。对系统（2.29)，设 ，由式（2.25），,（2.34） 将式（2.27）与式（2.34）相比较即得（2.35） 对式（2.35）作简单的变量替换就可得到（2.31）式。在对系统进行分析时，常常要对系统进行代数等价变换，进行代数等价变换不改变系统的脉冲响应函数，因为这种变换不影响系统的输入输出关系，仅是改变系统的状态变量的选择方式。证明如下,
