二次函数的图像与性质及练习

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1、 1 / 9二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质一、二次函数概念：一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫2yaxbxcabc，0a 做二次函数。 【说明】这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为0a bc，零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征：2yaxbxc 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是 2xx 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项abc，abc二、二次函数的基本形式二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减

2、。3. 的性质：2ya xh左加右减。的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00，轴y时，随的增大而增大；时，0x yx0x 随的增大而减小；时，有最小值yx0x y 00a 向下00，轴y时，随的增大而减小；时，0x yx0x 随的增大而增大；时，有最大值yx0x y 0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c，轴y时，随的增大而增大；时，0x yx0x 随的增大而减小；时，有最小值yx0x y c0a 向下0c，轴y时，随的增大而减小；时，0x yx0x 随的增大而增大；时，有最大值yx0x y c的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h，X=h时，随的增大而增大；时

3、，xhyxxh 随的增大而减小；时，有最小值yxxhy 02 / 94. 的性质：2ya xhk5. 二次函数二次函数的性质的性质2yaxbxc1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a 2bxa 24 24bacb aa，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2bxa yx2bxa yx时，有最小值2bxa y24 4acb a2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当0a 2bxa 24 24bacb aa，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2bxa yx2bxa yx2bxa 有最大值y24 4acb a三、二次函数图象的平移三、二次函数图象的平移

4、1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk， 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk，【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 (h0)【 【 【 (h0)【 【 【 (k0)【 【 【 【 (k0)【 【 【 |k|【 【 【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax20a 向下0h，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh 随的增大而增大；时，有最大值yxxhy 0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh 随的增大

5、而减小；时，有最小值yxxhy k0a 向下hk，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh 随的增大而增大；时，有最大值yxxhy k3 / 92. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成cbxaxy2ymcbxaxy2（或）mcbxaxy2mcbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成cbxaxy2mcbxaxy2（或）cmxbmxay)()(2cmxbmxay)()(2四、二次函数四、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式

6、，后者通过2ya xhk2yaxbxc配方可以得到前者，即，其中224 24bacbya xaa24 24bacbhkaa ，五、二次函数解析式的表示方法五、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，为常数，） ；2yaxbxcabc0a 2. 顶点式：（，为常数，） ；2()ya xhkahk0a 3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以 写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以x240bac 用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.

7、 六、二次函数的图象与各项系数之间的关系六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然2yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越0a aa 大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a aa 大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决aaa定开口的大小 2. 一次项系数b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b 02b ay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02b ay4 / 9当时，即抛

8、物线对称轴在轴的右侧0b 02b ay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b 02b ay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02b ay当时，即抛物线对称轴在轴的左侧0b 02b ay总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ababx2y0aby0ab概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交

9、点的纵坐标为0c yxy 负 / 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，4.利用二次函数与轴的交点的个数来确定判别式的符号，利用特殊点的坐标确定特x 殊代数式的值的范围。有时还要利用等量代换来判断特殊代数式的值的范围。 二次函数解析式的确定：二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数 的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几 种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3.

10、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二次函数的图像与性质应用举例：例 1：小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：2yaxbxc（1）；（2） ；（3）；（4） ； （5）. 你0a 1c 0b 0abc0abc 认为其中正确信息的个数有（C） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个21012yx1 3x 5 / 9例 2：已知二次函数的图象如图所示，2yaxbxc有以下结论：；/0abc ；1abc0abc ；其中所有正确结论的序号是（ C ）420abc1ca AB CD例 3：小明从图所示的二次函数的图象

11、中，观察得出了下面五条信息：2yaxbxc；，你认为其中正确信0c 0abc 0abc230ab40cb 息的个数有（ C ） A2 个B3 个C4 个D5 个分析：错误.由得；由前面的分析知，又由题图知当1 23b a230ab3 2ab 时，将代入中得.2x 420yabc 2x 420abc 40cb【练】已知二次函数的图象如图所示，有下列)0(2acbxaxy5 个结论： ； ； ； 0abccab024cba； ， （的实数）其中正确的结论有bc32 )(bammba1m（ C ） A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个分析：由图可知，从而，错误；又当0,1,02baca2

12、0,0baabc 时，错误；由抛物线的对称轴为直线知，当与1x 0yabc 1x 0x 时函数值相等，所以正确；因为2x ，所以正确；因为二次函数的对23222222()0cbcbbcbaabc称轴为直线，所以当时，函数取得最大值，即当时的函数值小于1x 1x 1,mxm当时的函数值，所以，得1x 2abcambmc，所以正确.)(bammba例 4：如图，是二次函数 yax2bxc（a0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0 的两根分别 为-3 和 1；a-2b+c0其中正确的命题是 （只要 求填写正确命题的序号）分析：由图知正确且，所以，所以错12

13、b a 20ba111Oxy1211O1xy6 / 9误；由正确得，所以，所以错误.cab 2230abcababb 【练】1. 已知二次函数的部分图象如图所示，它的顶点的横坐标20yaxbxc a为1，由图象可知关于的方程的两根为x2=0axbxc3 121,xx2.二次函数图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所1x 示对于下列说法： 0；0；0；当1x3 时，abcabc3ac y0其中正确的是 （把正确的序号都填上） 分析：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，得，1x x3,012b a，与轴的另一个交点为，所以，.2ba x1,00abc30acabc例 5：在同一直角

14、坐标系中，函数和（是常数，且ymxm222ymxx m）的图象可能是（ C ）0m 例 6：（1）已知二次函数的图象以 A（1，4）为顶点，且过点 B（2，5）求该函数的关系式；求该函数图象与坐标轴的交点坐标；答：，交点坐标223yxx 1,0 , 3,0（2）抛物线过（1，0） ， （3，0） ， （1，4）三点，求二次函数的解析式；答：223yxx例 7：已知函数是关于的二次函数，求：24281mmymxxx（1）求满足条件的的值；m （2）为何值时，抛物线有最低点？最低点坐标是多少？当 x 为何值时，y 随 x 的增大而m 增大？ （3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？答：（1）或；3m 2m xy Oxy Oxy Oxy O7 / 9例 8：（1）利用配方求函数的对称轴、顶点坐标。2144yxx 21254yx （2）利用公式求函数的对称轴、顶点坐标。216172yxx ，661222b a