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1、2003222003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：本题共一、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 21 ln(1)0lim(cos )xxx(2) 曲面与平面平行的切平面的方程是.22yxz042zyx(3) 设，则= .)(cos02xnxaxnn2a(4) 从的基到基的过渡矩阵为 .2R 11,0121 21,1121(5) 设二维随机变量的概率密度为则 (, )X Y，yxxyxf其他, 10 , 0,6),(1YXP.(6
2、) 已知一批零件的长度 (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取 16 个Xcm) 1 ,(N零件，得到长度的平均值为 40 ()，则的置信度为 0.95 的置信区间是.cm(注注：标准正态分布函数值.)95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (二、选择题：本题共二、选择题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有分，下列每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，( )f x),(则
3、有( )( )f x(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(2) 设均为非负数列，且,则必有( ),nnncba0lim nna1lim nnb nnclim(A) 对任意成立. (B) 对任意成立.nnba nnncb n(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. nnnca limnnncb limyx200322(3) 已知函数在点的某个邻域内连续，且，则( )( , )f x y(0,0)1)(),(lim2220, 0yxxyyxfyx(A) 点不是的极值点. (0,0)( , )
4、f x y(B) 点是的极大值点. (0,0)( , )f x y(C) 点是的极小值点. (0,0)( , )f x y(D) 根据所给条件无法判断点是否为的极值点. (0,0)( , )f x y(4) 设向量组 I：可由向量组 II：线性表示，则( )r,21Ls,21L(A) 当时，向量组 II 必线性相关. (B) 当时，向量组 II 必线性相关.sr sr (C) 当时，向量组 I 必线性相关. (D) 当时，向量组 I 必线性相关. sr sr (5) 设有齐次线性方程组和, 其中均为矩阵，现有 4 个命题：0Ax 0Bx ,A Bnm 若的解均是的解，则秩()秩()；0Ax 0
5、Bx AB 若秩()秩()，则的解均是的解；AB0Ax 0Bx 若与同解，则秩()=秩()；0Ax 0Bx AB 若秩()=秩()， 则与同解.AB0Ax 0Bx 以上命题中正确的是( )(A) . (B) . (C) . (D) . (6) 设随机变量，则( )21),1)(XYnntX(A) . (B) .)(2nY) 1(2nY(C) . (D) . ) 1 ,(nFY), 1 (nFY三三 、(本题满分本题满分 10 分分)过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形.lnyxlnyxxD(1) 求的面积;DA(2) 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积.DxeV四四 、(本题满分
6、本题满分 12 分分)将函数展开成的幂级数，并求级数的和.xxxf2121arctan)(x012) 1(nnn200322五五 、(本题满分本题满分 10 分分)已知平面区域，为的正向边界. 试证：0 ,0),(yxyxDLD(1) ;dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin(2) .22sinsindxyedyxexLy六六 、(本题满分本题满分 10 分分) 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为).,0k k 汽锤第一次击打将桩打进地下. 根据设计
7、方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前am一次击打时所作的功之比为常数. 问(01)rr(1) 汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深？ (2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注注：表示长度单位米.)m七七 、(本题满分本题满分 12 分分)设函数)在内具有二阶导数，且是的反函( )yy x),()(, 0yxxy( )yy x数.(1) 试将所满足的微分方程变换为满足( )xx y0)(sin(3 22 dydxxydyxd( )yy x的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.23)0(, 0)0(yy八八 、(本题满分本题满分 12 分分)设函数连续且恒
8、大于零，( )f x，)(22)(222)()()(tDt dyxfdvzyxftF ttDdxxfdyxftG12)(22)()()(其中，),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) 讨论在区间内的单调性.( )F t), 0( (2) 证明当时，0t ).(2)(tGtF200322九九 、(本题满分本题满分 10 分分)设矩阵，求的特征值与特 322232223 A 100101010 PPAPB*12BE征向量，其中为的伴随矩阵，为 3 阶单位矩阵.*AAE十十 、(本题满分本题满分 8 分分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为，.1:230laxbyc
9、2:230lbxcya3:230lcxayb试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为. 0cba十一十一 、(本题满分本题满分 10 分分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅 装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望；X (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二十二 、(本题满分本题满分 8 分分) 设总体的概率密度为X , 0,2)()(2xxexfx其中是未知参数. 从总体中抽取简单随机样本，记0XnXXX,21L).,min( 21nXXXL(1) 求总体的分布函数;X( )
10、F x(2) 求统计量的分布函数；)(xF(3) 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析200322一、填空题一、填空题(1)【答案】1 e【详解】方法方法 1：求型极限，一般先化为指数形式( )lim ( )v xu x( )( )ln ( )lim ( )limv xv xu xu xe然后求，再回到指数上去lim ( )ln ( )v xu x=,)1ln(102)(coslimxxx220lncoslncoslimln(1)ln(1)0limxxxxxxee而(等价无穷小替换)2200ln
11、cosln(1 cos1)limlimln(1)ln(1)xxxx xx20cos1lim xx xln(1) xx:(等价无穷小替换)2201 12lim2xxx 211 cos2xx:故 原式=.121ee方法方法 2：令，有，以下同方法 121ln(1)(cos )xyx2lncoslnln(1)xyx(2)【答案】542zyx【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可 平面的法向量：；042zyx12,4, 1n r曲面在点的法向量：22yxz),(000zyx20000(,),(,), 1xynzxyzxyr002,2, 1xy由于，因此有12/nnrr00
12、221 241xy可解得，相应地有2, 100yx. 52 02 00yxz所求切平面过点，法向量为：，故所求的切平面方程为(1,2,5)22,4, 1n r，即 0)5()2(4) 1(2zyx542zyx200322(3)【答案】1【详解】将展开为余弦级数)()(2xxxf，其中20( )cos()n nf xxanxx 0cos)(2nxdxxfan所以 xdxxdxxa2sin12cos20202 22 001sin2sin22xxxxdx 01cos2xdx001 cos2cos2xxxdx 1(4)【答案】 2132【详解】维向量空间中，从基到基的过渡矩阵满足nn,21Ln,21L
13、P=，n,21Ln,21LP因此过渡矩阵为：P=P1 21, nL,21nL根据定义，从的基到基的过渡矩阵为2R 11,0121 21,1121=P1 21, 2111 1011,121.213221111011 (5)【答案】1 4【分析】本题为已知二维随机变量的概率密度，求满足一定条件的概率(, )X Y( , )f x y连续型二维随机变量概率的求解方法),(0zYXgP(, )X Y( , )( , ),yxF x yf u v dudv 此题可转化为二重积分进行计算),(0zYXgP0( , )( , )g x yzf x y dxdy【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有1YXP1( , )x yf x y dxdy 112 06xxdxxdy1xyO1 21xyyx2003221 22 0(612)xxdx1 4(6)【答案】)49.40,51.39(【分析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差，对正态总体的数学期望进行估计. 因为，设有12( ,1)XN:个样本，样本均值，则，将其标准化，由公式n11ni iXXn1( , )XNn:得：()(0,1)()XE XND X n)
