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1、 BornBorn toto winwin 19911991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题一、填空题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1) 设 则=_. 2 1, cos , xt yt 2 2 d y dx (2) 由方程所确定的函数在点处的全微分 222 2xyzxyz( , )zz x y(1,0, 1) =_.dz (3) 已知两条直线的方程是；,则过且平 1 123 : 101 xyz L 2 21 : 211 xyz L 1 L 行于的平面方程是_. 2 L (4) 已知当时
2、,与是等价无穷小,则常数=_.0x 1 2 3 (1)1axcos1xa (5) 设 4 阶方阵,则的逆阵=_. 5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 A A 1 A 二、选择题二、选择题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1) 曲线 ( ) 2 2 1 1 x x e y e (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数满足关系式,则等于 ( )( )f x 2 0 ( )ln2 2 x t f xfdt ( )f x (A) (B) ln2
3、 x e 2 ln2 x e (C) (D) ln2 x e 2 ln2 x e (3) 已知级数,则级数等于 ( ) 1 1 ( 1)2 n n n a 21 1 5 n n a 1 n n a (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (4) 设是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,是在第一DxOy 1 DD BornBorn toto winwin 象限的部分,则等于 ( )(cos sin ) D xyxy dxdy (A) (B) 1 2cos sin D xydxdy 1 2 D xydxdy (C) (D) 0 1 4(cos sin ) D
4、 xyxy dxdy (5) 设阶方阵、满足关系式,其中是阶单位阵,则必有 ( )nABCABCEEn (A) (B) ACBECBAE (C) (D) BACEBCAE 三、三、( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 5 5 分分.).) (1) 求. 0 lim(cos) x x x (2) 设是曲面在点处的指向外侧的法向量,求函数n 222 236xyz(1,1,1)P 在点处沿方向的方向导数. 22 68xy u z Pn (3) ,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面 22 ()xyz dV 2 2 , 0 yz x z 所围成的立体.4z 四、四、( (本题满
5、分本题满分 6 6 分分) ) 在过点和的曲线族中,求一条曲线,使沿该曲线从(0,0)O( ,0)Asin (0)yax aL 到的积分的值最小.OA 3 (1)(2) L y dxxy dy 五、五、( (本题满分本题满分 8 8 分分.).) 将函数展开成以 2 为周期的傅立叶级数,并由此求级数( )2 |( 11)f xxx 的和. 2 1 1 n n 六、六、( (本题满分本题满分 7 7 分分.).) 设函数在0,1上连续,(0,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在( )f x 1 2 3 3( )(0)f x dxf 一点,使.c( )0fc 七、七、( (本题满分本题满分 8
6、8 分分.).) BornBorn toto winwin 已知,及 1 (1,0,2,3) 2 (1,1,3,5) 3 (1, 1,2,1)a 4 (1,2,4,8)a .(1,1,3,5)b (1) 、为何值时,不能表示成的线性组合？ab 1234 、 (2) 、为何值时,有的唯一的线性表示式？并写出该表示式.ab 1234 、 八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设为阶正定阵,是阶单位阵,证明的行列式大于 1.AnEnAE 九、九、( (本题满分本题满分 8 8 分分) ) 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法( , )P x y 线段长度
7、的倒数(是法线与轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与轴平行.PQQxx 十、填空题十、填空题( (本题满分本题满分 6 6 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1) 若随机变量服从均值为 2,方差为的正态分布,且,则X 2 240.3PX =_.0P X (2) 随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概 2 02yaxxa 率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_.x 4 十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) ) 设二维随机变量的概率密度为 (, )X Y , (2 ) 2, 0,0 ( , ) 0, xy exy f
8、x y 其他 求随机变量的分布函数.2ZXY BornBorn toto winwin 19911991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、填空题一、填空题( (本题满分本题满分 1515 分分, ,每小题每小题 3 3 分分.).) (1)【答案】 3 sincos 4 ttt t 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 , 则 . ( ) ( ) xt yt ( ) ( ) dyt dxt 所以 , sin 2 dy dyt dt dx dxt dt 再对求导,由复合函数求导法则得x 2 2 sin1
9、()() 22 d yddydtdt dxdt dxdxdttt . 23 2 cos2sin1sincos 424 tttttt ttt (2)【答案】2dxdy 【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点的含义是.(1,0, 1)(1,0)1zz 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得 , 222 222 () ()0 2 d xyz d xyz xyz 再由全微分四则运算法则得 , 222 ()() xdxydyzdz xy dzydxxdy z xyz 令,得,即.1,0,1xyz 2 dxdz dy 2dzdxdy (3)【答案】320xyz 【解析】所求平面过直线,因而过上的
10、点； 1 L 1 L(1,2,3) 因为过平行于,于是平行于和的方向向量,即平行于向量 1 L 2 L 1 L 2 L 和向量,且两向量不共线,于是平面的方程 1(1,0, 1)l r 2(2,1,1)l r BornBorn toto winwin , 123 1010 211 xyz 即.320xyz (4)【答案】 3 2 【解析】因为当时,0x 1 1 sin,(1)1 n xxxx n : 当时,所以有0x 2 0ax 1 2222 3 111 (1)1,cos1sin, 322 axaxxxx : 所以 . 1 2 2 3 00 2 1 (1)12 3 limlim 1 cos13
11、 2 xx ax ax a x x 因为当时,与是等价无穷小,所以,故.0x 1 2 3 (1)1axcos1x 2 1 3 a 3 2 a (5)【答案】. 1200 2500 12 00 33 11 00 33 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据 本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答. 注意： ,. 1 1 1 00 00 AA BB 1 1 1 00 00 AB BA 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律：,则求的伴随矩阵 ab A cd A . * abdb A cdca 如果,这样0A BornBorn toto winwin . 1
12、 11 abdbdb cdcacaAadbc 再利用分块矩阵求逆的法则：,易见 1 1 1 00 00 AA BB . 1 1200 2500 12 00 33 11 00 33 A 二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(D) 【解析】由于函数的定义域为,所以函数的间断点为,0x 0x ,所以为铅直渐近线, 22 22 000 11 limlimlim 11 xx xx xxx ee y ee 0x ,所以为水平渐近线. 22 22 11 limlimlim1 11 xx xx xxx
13、 ee y ee 1y 所以选(D). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则( )yf x 0 xx 0 lim( ) xx f x 是函数的一条铅直渐近线； 0 xx 水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线.lim( ),( x f xa a 为常数）ya (2)【答案】(B) 【解析】令,则,所以 2 t u 2 ,2tu dtdu , 2 00 ( )ln22 ( )ln2 2 xx t f xfdtf u du 两边对求导,得,这是一个变量可分离的微分方程,即.解x( )2 ( )fxf x ( ) 2 ( ) d f x dx f x 之得,其中是常数. 2 ( ) x f xCeC 又因为,代入,得,得 0 0 (0)2 ( )ln2ln2ff u du 2 ( ) x f xCe 0 (0)ln2fCe BornBorn toto winwin ,即.ln2C 2 ( )ln2 x
