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1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,六讲 函数的连续性,主讲:岑利群,第一章 函数与极限与连续性,函数的连续性及其性质,一、连续函数的概念,二. 函数的间断点(了解),三、连续函数的运算,四.初等函数的连续性,五.最大值和最小值定理,六.介值定理,极限形式,增量形式,一、连续函数的概念,设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若,则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.,1.函数连续性的定义 (极限形式),可减弱：x0 为聚点,函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.,定义,是整个邻域,函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：,函数 y = x2 在点
2、x = 0 处是否连续 ?, 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.,又,且, y = x 2 在 U(0) 内有定义,解,函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以运用 语言描述它.,2.连续性的 语言形式,设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义., , 若 , 当 | x x0 | 时, 有,则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.,| f (x) f (x0) | 0,sgn x|x=0=sgn 0 = 0,故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续.,0, x = 0,1, x 1,但由于,解,5.函数在区间上的连续性,设函数 f (x) 在开区间 (
3、a, b) 内有定义.,若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为,f (x)C( (a, b) ).,定义,若 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处,右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数,f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 记为,f (x)C( a, b ).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I,上连续, 则记为 f (x) C( I ) .,二. 函数的间断点,函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下
4、三点：,1.函数间断点的定义,满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x),在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：,定义,2.函数间断点的分类,函数的间断点,在 x = 0 处的连续性.,y,x,O,1,y = sinx,yx+1,由图可知, 函数在 点 x0跳跃间断点.,讨论,函数在 x =1 无定义,故 x =1 为函数的第一类间断点., x =1 为函数的间断点.,y,x,O,1,1,P(1,2),y x + 1,x=1 为可去间断点.,解,讨论函数,x,y,O,在 x = 0 无定义,x = 0为函数的间断点,故 x = 0为函数,的第二类间断点.
5、,解,在 x = 0 处无定义,又,不存在,故 x = 0 为函数的第二类间断点.,看看该函数的图形.,解,O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,三、连续函数的运算,回忆函数极限的四则运算,则,1.连续函数的四则运算,设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续,则,即,有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即,(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即,(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x
6、0 处连续函数. 即,2.几个重要定理,这些定理与极限中的定理类似,x,y,y = f (x),y = | f (x) |,O,若 f (x) 在区间 I 上连续, 则 | f (x) | 仍,在 I 上连续.,定理 1, x0I , 由 f (x) 在 x0 的连续性:, , 当| x x0 | 时, 有,| f ( x) f (x0) | ,此时, 由绝对值不等式得,| | f (x) | | f (x0)| | | f (x) f (x0) | 0.,时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数.,当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0,(3),(2),(1),基
7、本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,四.初等函数的连续性,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,设 f (x) C ( a, b ), 则,(i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时,五、 最大值和最小值定理,y = f (x) a, b ,y = f (x) a, b ,则,则,(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时,x,y,a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y = f (x),O,(最大值和最小值定理),若 f (x) C ( a, b ) , 则它在该闭区间,上, 至少取到它的最大值和最小值
8、各一次 .,定理,a,x,y,y = f (x),f (a),b,f (b),O,f (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0,f ( )0.,先看一个图,描述一下这个现象,六、介值定理,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( )0.,设 f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,如何证明？,定理1,f ( ) = C,下面看看, 坐标平移会产生什么效果.,(介值定理),设 f (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a, b), 使
9、得 f () = C.,定理2,令 (x) = f (x) C,故由根存在定理, 至少存在一点 (a, b) 使,则 (x)C ( a, b ), C 在 A, B 之间, (a) (b) = ( f (a) C )( f (b) C ),= ( A C ) ( B C ) 0,证, ( )= 0, 即 f ( ) = C .,最大、最小值定理,介质定理,？,引入,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得,a x1 x2 xn b,证,由介值定理, 至少存在一点 ( x1 , xn ), 使,证明方程 x5 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间,令 f (x) = x5 3x 1, x1, 2,则 f (x)C( 1, 2 ),又 f (1) = 3, f (2) = 25, f (1) f (2) 0, b 0 ),设 f (x) = x a sin x b , x 0, a + b ,则 f (x)C( 0, a + b ),而 f (0) = 0 a sin 0 b = b 0,f (a + b) = (a + b) a sin (a + b) b,= a ( 1 sin (a + b) ) 0,
