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1、数学(一)试题 第1页(共13页)2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1)=.exxdx2ln(2)已知函数由方程确定,则=.( )yy x0162xxyey(0)y(3)微分方程满足初始条件的特解是.02 yyy0011,2xxyy(4)已知实二次型经正交变换3231212 32 22 1321444)(),(xxxxxxxxxaxxxf可化成标准型,则=.xPy2 16yf a(5)设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概X2( ,)(0)N 042Xyy率为,则.1 2二、选择题(本题
2、共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数的下面 4 条性质:),(yxf在点处连续;在点处的两个偏导数连续;),(yxf),(00yx),(yxf),(00yx在点处可微;在点处的两个偏导数存在),(yxf),(00yx),(yxf),(00yx若用“”表示可由性质推出性质,则有PQPQ(A) .(B) .(C) .(D) .(2)设,且,则级数0(1,2,3,)nunLlim1 nnn u11111( 1)()nnnnuu (A) 发散.(B) 绝对收敛.(C) 条件收敛.(D) 收敛性
3、根据所给条件不能判定.数学(一)试题 第2页(共13页)(3)设函数在内有界且可导,则( )yf x(0,)(A) 当时,必有.0)(lim xf x0)(lim xf x(B) 当存在时,必有.)(limxf x 0)(lim xf x(C) 当时,必有. 0lim( )0 xf x 0lim( )0 xfx (D) 当存在时,必有. 0lim( ) xfx 0lim( )0 xfx (4)设有三张不同平面的方程,它们所组成的线性方程组的系123iiiia xa ya zb3 , 2 , 1i数矩阵与增广矩阵的秩都为,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,
4、它们的概率密度分别为和,1X2X1( )f x2( )fx分布函数分别为和,则1( )F x2( )F x(A)必为某一随机变量的概率密度.1( )f x2( )fx(B)必为某一随机变量的概率密度.1( )f x2( )fx(C)必为某一随机变量的分布函数.1( )F x2( )F x(D)必为某一随机变量的分布函数.1( )F x2( )F x三、(本题满分 6 分)设函数在的某邻域内具有一阶连续导数,且,若)(xf0x (0)0,(0)0ff 在时是比高阶的无穷小,试确定的值.( )(2 )(0)af hbfhf0hhba,数学(一)试题 第3页(共13页)四、(本题满分 7 分)已知两
5、曲线与在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)(xfy xtdteyarctan02(0,0).)2(limnnf n五、(本题满分 7 分)计算二重积分,其中.dxdyeDyx,max2210 , 10| ),(yxyxD六、(本题满分 8 分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面(0)内的有向分段光滑曲线,)(xf(,) Ly其起点为(),终点为().记ba,dc,22 211()() 1, LxIy f xy dxy f xydyyy(1)证明曲线积分与路径无关;IL(2)当时,求的值.cdab I七、(本题满分 7 分)(1)验证函数满足微分方程333369( )1()3!6!9
6、!(3 )!nxxy xxn LL;xeyyy (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.30(3 )!nnx n八、(本题满分 7 分)设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为xOy2( , )|Dx yx,小山的高度函数为.275yxy),(yxhxyyx2275(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?),(00yxMD),(yxh数学(一)试题 第4页(共13页)若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式.),(00yxg),(00yxg(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在的边界线上找出
7、使(1)中达到最大值的点.试确定攀登D2275xyxy),(yxg起点的位置.九、(本题满分 6 分)已知四阶方阵,均为维列向量,其中线性无关,),(4321A4321,4432,如果,求线性方程组的通解.32124321Ax十、(本题满分 8 分)设为同阶方阵,A B(1)若相似,证明的特征多项式相等.,A B,A B(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.,A B十一、(本题满分 7 分)设维随机变量的概率密度为X10,cos,( )22 0,xxf x 其他.对独立地重复观察次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.XY32Y
8、十二、(本题满分 7 分)设总体的概率分布为X X0123P2)1 (2221其中是未知参数,利用总体的如下样本值1(0)2X数学(一)试题 第5页(共13页)3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估计值和最大似然估计值.2002 年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式2ln11.lnlneedx xx (2)【分析】方程两边对两次求导得x 6 620,ye yxyyx26 12 20.yye ye yxyy以代入原方程得,以代入得,再以代入得0x 0y 0xy0,y 0xyy(0)2.y (3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.令(以为自变量),则( )yP yy.dydPd
9、PyPdxdxdy代入方程得,即(或,但其不满足初始条件).20dPyPPdy0dPyPdy0P 012xy分离变量得0,dPdy Py积分得即(对应);lnln,PyC1CPy0P 10C 由时得于是0x 11,2yPy11.2C 数学(一)试题 第6页(共13页)积分得.1,2,2yPydydxy2 2yxC又由得所求特解为01xy21,C 1.yx(4)【分析】因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵Tx Ax的特征值,所以是的特征值.A6,0,0A又因,故iiia600,2.aaaa(5)【分析】设事件表示“二次方程无实根”,则A042Xyy1640AXX依
10、题意,有4.1( )4.2P AP X而44141(),P XP X 即4141 41(),(),0.4.22二、选择题(1)【分析】这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关( , )f x y系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A).( , )f x y( , )f x y(2)【分析】由充分大时即时,且不妨认为1lim101nnunn ,N nN10nu1lim0, nnu因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.,0,nn u1nu按定义考察部分和数学(一)试题 第7页(共13页)111111111111( 1)()( 1)(
11、1)nnn kkk n kkkkkkkSuuuu1111111( 1)11( 1)1( 1)(),knnn lklklnnuuuuu 原级数收敛.再考察取绝对值后的级数.注意1111()nnnuu1111 12,11nnnnuunnn uun n发散发散.因此选(C).11nn1111()nnnuu(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理,lim( )0 xfxa (2 )( )( )()fxf xfxx (当时,因为);但这与矛盾x 2xx(2 )( )(2 )( )2fxf xfxf xM( ).f xM(4)【分析】因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点
12、且不唯( )( )23r Ar A一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是( )( )3.r Ar A(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和( )2r A ,且中任两个平行向量都线性无关.( )3r A A类似地,(D)中有两个平面平行,故,且中有两个平行向量共线.( )2r A ( )3r A A(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因数学(一)试题 第8页(共13页)121212( )( )( )( )21,()()1 121.f xfx dxf x dxfx dxFF 对于选项(B),若则对任何121, 21,1,01,(
13、)( )0,0,xxf xfx 其他，其他，(,),x ,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).12( )( )0f x fx 12( )( )01,f x fx dx进一步分析可知,若令,而则的分布函数恰是12max(,)XXX( ),1,2,iiXf x i X( )F x12( )( ).F x F x1212( )max(,),F xPXXxP Xx Xx1212 ( )( ).P Xx P XxF x F x三、 【解】用洛必达法则.由题设条件知由于,故必有 0lim( )(2 )(0)(1) (0). haf hbfhfabf (0)0f 10.ab 又由洛必达法则 0
14、0( )(2 )(0)( )2(2 )limlim1hhaf hbfhfafhbfh h(2 )(0)0,ab f及,则有.(0)0f 20ab综上,得2,1.ab 四、 【解】由已知条件得(0)0,f2 2arctanarctan0020(0)()1,1xxt xxxefedtx 故所求切线方程为.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得yx02( )(0)2( )(0)lim( )2lim2lim2(0)2.2nnxfff xfnnffnx n数学(一)试题 第9页(共13页)五、 【分析与求解】是正方形区域如图.因在上被积函数分块表示DD2 222,max,( , ),xxyxyx yDyxy于是要用分块积分法,用将分成两块:yxD1212,.DDD DDyxDDyxUIII222212max,max,xyxyDDedxdyedxdy(关于对称)2221212xyxDDDe d
