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1、1 第十三章第十三章 轴对称轴对称 轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形轴对称、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形 轴对称图形轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对 称图形，这条直线就是它的对称轴有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数 条对称轴 轴对称轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两 个图形关于直线对称也叫做轴对称 图形轴对称的性质图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所
2、连线段的垂直平分线；轴对称对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称 图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴对称与轴对称图形的区别轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图 形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形 是全等形，并且成轴对称 考点一、关于考点一、关于“轴对称图形轴对称图形”与与“轴对称轴对称”的认识的认识 1.下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图形的有【 1 2 3 4 】 A1 个 B2 个 C
3、3 个 D4 个 2图中，轴对称图形的个数是【 】 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 2 3正 n 边形有_条对称轴，圆有_条对称轴 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线（或线 段的中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来， 与一条线段与一条线段 两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与 线段两个端点距离相等的所有点的集合 考点四、线段垂直平
4、分线的性质考点四、线段垂直平分线的性质 6如图，ABC 中，A90，BD 为ABC 平分线，DEBC，E 是 BC 的中点，求C 的 度数。 E D C B A 7如图，ABC 中，ABAC，PBPC，连 AP 并延长交 BC 于 D，求证：AD 垂直平分 BC B D C A P 8如图,DE 是ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC8 厘米，AB10 厘米，则EBC 的 周长为【 】 A.16 厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米 3 C E B D A 9如图，BAC30，P 是BAC 平分线上一点，PM AC，PDAC，PD30 , 则 AM M D P B CA
5、轴对称变换轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到 轴对称变换的性质轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称 点 （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 作一个图形关于某条直线的轴对称图形作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点 （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形 关于坐标轴对称关于坐标轴对称 点 P（x，y）关于 x
6、轴对称的点的坐标是（x，y） 点 P（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（x，y） 4 关于原点对称关于原点对称 点 P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（x，y） 关于坐标轴夹角平分线对称关于坐标轴夹角平分线对称 点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 yx 对称的点的坐标是（y，x） 点 P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y x 对称的点的坐标是 （y，x） 关于平行于坐标轴的直线对称关于平行于坐标轴的直线对称 点 P（x，y）关于直线 xm 对称的点的坐标是（2mx，y）； 点 P（x，y）关于直线 yn 对称的点的坐标是（x，2ny）； 考点二、轴对称变换及用坐
7、标表示轴对称考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称 1 点 A（-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( ) A （-3 ，-2） B （3 ，2） C （-3 ，2） D （2 ，-3） 2点 P（a，b）关于 x 轴的对称点为 P（1，-6），则 A、B 的值分别为( ) A 1 ，6 B -1 ，-6 C -1 ，6 D 1 ，-6 3.点 P 关于 x 轴对称点 P的坐标为（4，-5）,那么点 P 关于 y 轴对称点 P“的坐标为： A (-4，5) B (4，-5) C (-4，-5) D (-5，-4) 4.平面内点 A(-1，2)和点 B(-1，6)的对称轴是( ) A.x 轴 B
8、.y 轴 C.直线 y=4 D.直线 x=-1 5.下列关于 直线 x=1 对称的点是( ) A 点（0 ，-3）与点（-2 ，-3） B 点（2 ，3）与点（-2 ，3） C 点（2 ，3）与点（0 ，3） D 点（2 ，3）与点（2 ，-3 ) 6.已知 A(-1，-2)和 B(1，3），将点 A 向_平移_个单位长度后得到的点与点 B 关于 y 轴对称 7.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形， 点 A 的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为： B( ， )，C( ， )，D( ， )。 8. 若 A（m-1，2n+3）与 B（n-1，2m+
9、1）关于 y 轴对称，则 m= ,n= 9.已知 a0，那么点 P（-a-2，2-a）关于 x 轴对称的对应点 P在第 象限 三、解答题 10.已知点 M（1-a，2a+2），若点 M 关于 x 轴的对称点在第三象限，求 a 的取值范围？ 5 11.已知点 A 的坐标为（2x+y-3，x-2y）。它关于 x 轴对称的点 A的坐标为（x+3，y-4）， 求点 A 关于 y 轴对称的点的坐标。 12.如图，从ABC 到ABC是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换， 找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？ 13.如图，ABC，求顶点 A、B、C 关于 y 轴对称点的坐标并在 坐标系中画
10、出ABC 关于 x 轴对称的EDF。 14.已知两点 A（1，2） B（3，1） （1）P 点在 X 轴上移动。求 PA+PB 的最小值。 （2）Q 点在 Y 轴上移动。求 QA+QB 的最小值。 （3）并求出 P.Q 的坐标。 6 考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点 （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形 4如图，RtABC，C90,B30,BC8，D 为 AB 中点，P 为 BC 上一动点，连 接 AP、DP,则 APDP 的最小值是 5已知等边ABC，E 在 BC 的延长
11、线上，CF 平分DCE，P 为射线 BC 上一点，Q 为 CF 上 一点，连接 AP、PQ.若 APPQ，求证APQ 是多少度 作点 Q 关于 BE 的对称点 R，交 BE 于点 H， 从而可得 QCHRCH, QCH=RCH=60 度。 A ,C,R 在同一直线上。 易证 PCQPCR,从而QPH=RPH,PR=PQ, PQC=PRC. 又由于 AP=PQ,从而 AP=PR,得到PRA=PAR BAP+PAC=PQC+QPC BAP=QPC 即有：BAP+B=QPC+APQ 7 即APQ=60 等腰三角形等腰三角形 有两条边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边两腰 所
12、夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角 等腰三角形的性质等腰三角形的性质 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 特别的： （1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形 （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形 （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形
13、（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形 考点五、等腰三角形的特征和识别考点五、等腰三角形的特征和识别 11如图，ABC 中，ABAC8，D 在 BC 上，过 D 作 DE AB 交 AC 于 E，DFAC 交 AB 于 F，则四边形 AFDE 的周长为_ 。 F E D A B C 12如图，ABC 中，BD、CD 分别平分ABC 与ACB，EF 过 D 且 EFBC，若 AB 8 7，BC 8，AC 6，则AEF 周长为【 】 A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 13如图,点 B、D、F 在 AN 上,C、E 在 AM 上，且 ABBCCDEDEF,A20o,则 FE
14、B_度 14已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40，则它的一个底角的度数是 _ 15如图：在ABC 中，ABAC，ADBC， DEAB 于点 E, DFAC 于点 F。试说明 DEDF。 F C D B E A 16如图,E 在ABC 的 AC 边的延长线上，D 点在 AB 边上，DE 交 BC 于点 F，DFEF，BDCE.求证：ABC 是等腰三角形. 17已知：如图，ABC 中，ACB 的平分线交 AB 于 E，EFBC 交 AC 于点 F，交ACB 的外角平分线于点 G试判断EFC 的形状，并说明你的理由 9 A B C D G F E 等边三角形等边三角形 三条边都相等的三角形
15、叫做等边三角形，也叫做正三角形 等边三角形的性质等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60 等边三角形的判定方法等边三角形的判定方法 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 考点六、等边三角形的特征和识别考点六、等边三角形的特征和识别 22下列推理中，错误的是【 】 AABC，ABC 是等边三角形 BABAC，且BC，ABC 是等边三角形 CA60，B60，ABC 是等边三角形 DABAC，B60，ABC 是等边三角形 23如图，等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CECD，DMBC，垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。 10 24已知ABC 是等边三角
