数列、不等式、函数综合题

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1、数列、不等式、函数函数列、不等式、函数函- -综合题综合题1已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和（1）求、和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由2、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为.（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由. 3、已知函数在上的最小值为

2、，是函数图像上的两点，且线段的中点 P 的横坐标为.（1）求证：点 P 的纵坐标是定值;（2）若数列的通项公式为, 求数列的前 m项和；（3）设数列满足:，设，4、（本小题 14 分）设函数yf(x)的定义域为(0，)，且在(0，)上单调递增，若对任意x，y(0，)都有：f(xy)f(x)f(y)成立，数列an满足：a1f(1)1，（1）求数列an的通项公式，并求Sn关于n的表达式；（2）设函数g(x)对任意x、y都有：g(xy)g(x)g(y)2xy，若g(1)1，正项数列bn满足：，Tn为数列bn的前n项和，试比较 4Sn与Tn的大小。 5、已知定义在上的奇函数满足，且对任意有（）判断在上

3、的奇偶性，并加以证明（）令，求数列的通项公式（）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值 6、对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是 “M类数列”（I）若，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；（II）若数列满足，(1)求数列前项的和(2)已知数列是 “M类数列”，求. 7、（本小题满分 14 分）已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围 ；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）8、（本小题满分 14 分）已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围 ；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）9、（

4、本小题满 分 14 分）已知函数（）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；（）若恒成立，求实数的取值范围；（）当时，试比较与的大小关系10、已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明：（）当时，；（）当时，。11、已知数列中，且（1）求证：；（2）设，是数列的前项和，求的解析式；（3）求证：不等式对于恒成立。12、设为正整数，规定：，已知（1）解不等式：；（2）设集合，对任意，证明：；（3）求的值；（4）若集合，证明：中至少包含有个元素13、已知函数满足下列条件：函数的定义域为0，1；对于任意；对于满足条件的任意两个数（1）证明：对于任意的；（2）证明：于任意的；（3）不等式

5、对于一切x0，1都成立吗？试说明理由.15、设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为.（1）求的值及的表达式；（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由. 16、函数的定义域为x| x 1，图象过原点，且（1）试求函数的单调减区间；（2）已知各项均为负数的数列前 n 项和为，满足，求证：； 答案1 1、解：（、解：（1 1）（法一）在）（法一）在中，令中，令，得 即 2 分解得， 3 分， 5 分（法二）是等差数列， 2 分由，

6、得 ， 又，则 3 分(求法同法一)（2）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 6 分，等号在时取得 此时 需满足 7 分当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 8 分是随的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 9 分综合、可得的取值范围是 10 分（3）， 若成等比数列，则，即11 分（法一）由， 可得，即， 12 分 13 分又，且，所以，此时因此，当且仅当， 时， 数列中的成等比数列14 分（法二）因为，故，即，（以下同上）2 2、（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象、（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想

7、方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）概括能力、运算求解能力和创新意识）解： -2 分当时，取值为 1，2，3，共有个格点当时，取值为 1，2，3，共有个格点 -4 分 -5 分当时，当时，-6 分时，时，时，中的最大值为. -8 分要使对于一切的正整数恒成立，只需 -9 分. -10 分将代入，化简得，（）-11 分若时 ，显然-12 分若时 （）式化简为不可能成立 -13 分综上，存在正整数使成立3 3、解：（、解：（1 1）当）当时，时，在在上单调递减，又上单调递减，又的最小值为的最小值为，得t=1 ;当时，在上单调递增，又的最小值为，得t=2（舍） ;当t = 0 时，（舍）

8、， t = 1, . ， ，即p点的纵坐标为定值。（2）由(1)可知, , 所以,即由, 得 由, 得 （3） , 对任意的. 由、, 得 即.数列是单调递增数列.关于n递增. 当, 且时, . 即 m的最大值为 6.5、解：（）对任意有令得；分令由得，用替换上式中的有分在上为奇函数分（）满足，则必有否则若则必有，依此类推必有，矛盾分，又是为首项，为公比的等比数列，分分（）分故得分分若对恒成立须，解得分的最大值为- 分 6、解：（I）因为则有故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为 2 分因为，则有 故数列是“M类数列”， 对应的实常数分别为 4 分（II）（1）因为 则有， 6 分故数列前

9、项的和+9 分（2）数列是“M类数列”， 存在实常数，使得对于任意都成立，10 分且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，而，且则有对于任意都成立，即对于任意都成立，因此，12 分此时，13 分 7、解：（1）当时，定义域是， 令，得或 2 分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4 分的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或5 分（2）当时，定义域为令，在上是增函数 7 分当时，即；当时，即；当时，即 9 分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有， 12 分 14 分(法二)当时，即时命题成立 10 分设当时，命题成立，即 时，根据（2）的结

10、论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立13 分因此，由数学归纳法可知不等式成立 14 分（法三）如图，根据定积分的定义，得11 分， 12 分，又， 14 分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识 8、解：（1）当时，定义域是， 令，得或 2 分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4 分的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或5 分（2）当时，定义域为令，在上是增函数 7 分当时，即；当时，即；当时，即 9 分（3）（法

11、一）根据（2）的结论，当时，即令，则有， 12 分，来源:学科网 ZXXK 14 分(法二)当时，即时命题成立 10 分设当时，命题成立，即 时，根据（2）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立13 分因此，由数学归纳法可知不等式成立 14 分（法三）如图，根据定积分的定义，得11 分， 12 分，又， 14 分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识 9、解：（）由，解得或， 函数的定义域为 当时，来 在定义域上是奇函数。 4 分（）由时，恒成立， 在成立 令，由二次函数的性质可知时函数单调递增，时函数单调递减，时， 8 分（）= 证法一：设函数,则时，即在上递减，所以，故在成立，则当时,成立. 14 分证法二：构造函数， 当时，在单调递减，12 分当（）时， 14 分10、证明：（）由得而 又 由、得即（）证法一：由，得下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成