第五章矩阵分析(改)

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1、48第五章第五章 矩阵分析矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的一些内容本章将介绍矩阵微积分的一些内容. .包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. .5.15.1 向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用起到了十分重要的作用. .一、向量的范数一、向量的范数定义定义 1 1 设设是数域是数域上上维（数组）向量全

2、体的集合，维（数组）向量全体的集合，是定义在是定义在VFnx上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：V1 1）非负性）非负性 对对中任何向量中任何向量，恒有，恒有，并且仅当，并且仅当时，才有时，才有Vx0x 0x=0=0；x2 2）齐次性）齐次性 对对中任意向量中任意向量及及中任意常数中任意常数，有，有VxFk;xkkx 3 3）三角不等式）三角不等式 对任意对任意，有，有Vyx,，yxyx则称此函数则称此函数（有时为强调函数关系而表示为（有时为强调函数关系而表示为） 为为上的一种向量范数上的一种向量范数. .xV例例 1 1 对对中向量

3、中向量，定义，定义nCT nxxxx,21，22 22 12nxxxxHx x则则为为上的一种向量范数上的一种向量范数 表示复数表示复数的模的模.2xnCixix证证 首先，首先，2nxC是上的实值函数，并且满足1 1）非负性）非负性 当当时，时，；当；当时，时，；0x 0x 0x 0x 492 2）齐次性）齐次性 对任意对任意及及，有，有kCnxC；222 1222|nkxkxkxkxkx3 3）三角不等式）三角不等式 对任意复向量对任意复向量，有，有1212( ,) ,(,)TT nnxx xxyy yy2222 21122|()nnxyxyxyxy222 1122()()()nnxyxy

4、xy（由（由 Cauchy-Cauchy-22111|2|nnniiii iiixxyy不等式）不等式）22 22222 22|2| |(| ) ,xxyyxy因此因此 222|xyxy所以所以 确为确为上的一种向量范数上的一种向量范数2|xnC例例 2 2 对对 或或 上向量上向量定义定义nCnR12( ,)Tnxx xx，112|nxxxx，1maxi i nxx 则则及及都是都是 或或 上的向量范数，分别称为上的向量范数，分别称为 1-1-范数和范数和范范1|xxnCnR数数. .证证 仅对后者进行证明仅对后者进行证明. .1 1）非负性）非负性 当当时，时，又显然有，又显然有；0x m

5、ax0iixx002 2）齐次性）齐次性 对任意向量对任意向量及复数及复数，T nxxxx,21kmaxmax;iiiikxkxkxk x503 3）三角不等式）三角不等式 对任意向量对任意向量1212( ,) ,(,) ,TT nnxx xxyy yyiiiiiiyxyxyxmaxmaxiiiiyxmaxmax= =. . yx综上可知综上可知确为向量范数确为向量范数. .x上两例中的上两例中的是常用的三种向量范数是常用的三种向量范数. .xxx,21一般地，对于任何不小于一般地，对于任何不小于 1 1 的正数的正数，向量，向量的函数的函数pT nxxxx,21pnip ipxx11 也构成

6、向量范数，称为向量的也构成向量范数，称为向量的范数范数. .p注（注（1 1）当）当时，时，1p 1;pxx（2 2）当）当时，时，为为 2-2-范数，它是酉空间范数；当范数，它是酉空间范数；当为实数时，为实数时，2p 2xix为欧氏空间范数；为欧氏空间范数；1 22 2 1()ni ixx由由范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并p不仅限于不仅限于范数范数. .在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到p两个著名的不等式，即：两个著名的不等式，即：1 1、Hld

7、erHlder 不等式不等式 设正实数设正实数满足满足则对任意的则对任意的有有, p q111,pq,nx yC11111() ()nnnpqpq iiii iiix yxy2 2、MinkowskiMinkowski 不等式不等式 对任意实数对任意实数, ,及及有有1p ,nx yC51（）. .111111()()()nnnpppppp iiii iiixyxy例例 3 3 设设为为维向量，则维向量，则Tn1 , 1 , 1 n1,21xnxnx各种范数值差距很大各种范数值差距很大. .但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性称为

8、范数的等价性. .定理定理 1 1 设设为有限维线性空间为有限维线性空间的任意两种向量范数（它们不限的任意两种向量范数（它们不限,V于于范数）范数） ，则存在正的常数，则存在正的常数, ,使对一切向量使对一切向量，恒有，恒有p12,C Cx(1)(1)xCxxC21证证 如果范数如果范数和和都与一固定范数譬如都与一固定范数譬如 2-2-范数范数满足式（满足式（1 1）的）的xx2x关系，则这两种范数之间也存在式（关系，则这两种范数之间也存在式（1 1）的关系，这是因为若存在正常数）的关系，这是因为若存在正常数和和，使，使12,C C12,CC1222122,CxxCxCxxCx成立，则显然有成

9、立，则显然有1122|C CxxC Cx 令令，则得式（，则得式（1 1） ，因此只要对，因此只要对证明或（证明或（1 1）成立即可）成立即可. .111222,CC C CC C 2设设是是维的，它的一个基是维的，它的一个基是，于是，于是中的任意向量中的任意向量可表示为可表示为Vn12,nx xxVx1 122nnxxxx从而，从而，可视为可视为 n n 个变量个变量的函数，的函数，1 122nnxxxx12,n 记为记为，易证，易证是连续函数，事实上，若令是连续函数，事实上，若令12( ,)nx 12( ,)n 52, ,则则1 122nnxxxxV. .12( ,)nx 1212( ,)

10、( ,)nnxxxx . .11111()()nnnnnnxxxx由于由于 是常数，因此是常数，因此与与充分接近时，充分接近时，ix(1,2, )inii就与就与充分接近，所以充分接近，所以是连续函数是连续函数. .12( ,)n 12( ,)n 12( ,)n 所以在有界闭集所以在有界闭集上，上，222 1212( , )1nS 函数函数可达到最大值可达到最大值及最小值及最小值. .因此在因此在中，中，不能全不能全12( ,)n 2C1CSi为零，所以为零，所以. .记向量记向量10C ，12 12222n nyxxxxxx则其坐标分量满足则其坐标分量满足，22212 122221nxxxx

11、x因此，因此，. .从而有从而有yS. .11 122220,nCyCxxx但但故故 . .2,xyx122xCCx即即 . .12222C xxCx二、矩阵的范数二、矩阵的范数定义定义 2 2 设设是数域是数域F F上所有上所有矩阵的集合，矩阵的集合，是定义在是定义在上的一个上的一个VnmAV实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对中任意矩阵中任意矩阵、及及中中VABF53任意常数任意常数总有总有k1 1）非负性）非负性 并且仅当并且仅当时，才有时，才有；0A0A0A2 2）齐次性）齐次性 ；AkkA 3 3）三角不等式）三角不等式 ；BABA则称

12、则称是是上的一种矩阵范数上的一种矩阵范数. . AV例例 4 4 对对（或（或）上的矩阵）上的矩阵定义定义nmCnmRA()ija， minjijMaA111， minjijMaA1122， 1 1maxijMi m j nAa 则则都是都是（或（或）上的矩阵范数）上的矩阵范数. . MMM, 21nmCnmR实用中涉及较多的是方阵的范数，即实用中涉及较多的是方阵的范数，即的情形的情形. .mn定义定义 3 3 设设是数域，是数域，是是上的方阵范数上的方阵范数. .如果对任意的如果对任意的，FnnF,n nA BF总有总有，ABAB则说方阵范数则说方阵范数具有乘法相容性具有乘法相容性. .注意

13、：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第作为第 4 4 个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了. .例例 5 5 对对上的矩阵上的矩阵定义定义，则，则是一种矩阵是一种矩阵nnCAijaijnjianA ,1max范数，并且具备乘法相容性范数，并且具备乘法相容性. .证证 非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式54ijijbanBAmaxmaxmaxijijnab；BA 乘法相容性乘法相容性 nkkjiknkkjikbanbanAB11maxmax， BAbnanijijmaxmax证得证得为矩阵范数且具有乘法相容性为矩阵范数且具有乘法相容性. .A并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性. .例如对于例如对于上的方阵范数上的方阵范数22R就不具备相容性条件就不具备相容性条件. .此时此时.M. .ijjiMaA 2,1max 取取 ，1110,0111AB则有则有 ，1 MMBA而而 . .2MMMABAB 定义定义 4 4 如果如果阶矩阵阶矩阵的范数的范数与与维向量维向量的范数的范数，使对任意，使对任意阶阶nAAnxx