概率练习及答案－金锄头文库

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1、第一章事件与概率1、对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解解】（1）设 A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A1）=（）5 51 71 7 （2）设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A2）=()5556 76 7(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1P(A1)=1()51 7 2、一架升降机开始时有 6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=

2、“某指定的一层有两位乘客离开” ；（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开” ；（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开” ；（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”. 【解解】由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为 106种.（1） 24 6 6C 9( )10P A （2） 6 个人在十层中任意六层离开，故6 10 6P( )10P B （3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再1 10C从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开2 6C的情况，因此可包含以下三种离开方式：4 人中有

3、 3 个人在同一层离开，另一人在其余 8 层中任一层离开，共有种可能结果；4 人同时离开，有种可131 948C C C1 9C能结果；4 个人都不在同一层离开，有种可能结果，故4 9P12131146 10694899( )C C (C C CCP )/10P C （4） D=.故B6 10 6P()1( )110P DP B 3、两人约定上午 9001000 在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.【解解】设两人到达时刻为 x,y,则 0x,y60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于 |xy|30.如图阴影部分所示.22301 604P 4、一个袋内装有大小相同的 7 个球，其中

4、 4 个是白球，3 个是黑球，从中一次抽取 3 个，计算至少有两个是白球的概率. 【解解】设 Ai=恰有 i 个白球（i=2,3），显然 A2与 A3互斥.213 434 2333 77C CC184(),()C35C35P AP A故 232322()()()35P AAP AP A5、设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC） =0，P（AC）=1/12，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率. 【解解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=+=1 41 41 31 123

5、 46、对任意的随机事件 A，B，C，试证 P（AB）+P（AC）P（BC）P(A).【证证】 ( ) ()()P AP A BCP ABAC()()()P ABP ACP ABC()()()P ABP ACP BC7、证明：域之交仍为域。证证：设是域，记.)(TtFtt t TFF(i) 每一，所以，即.tF TttFF(ii) ，则每一，由是域得每一，所以，从而FAAtFtFAtFt t TAF.FA(iii) ，则诸必属于每一，由于是域，所以每一，FiAi), 2 , 1(tAtFtF iiA tF即.FFAtTtii 是域。F第二章条件概率与统计独立性1、某地某天下雪的概率为 0.3

6、，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为 0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解解】设 A=下雨，B=下雪.（1） ()0.1()0.2( )0.5P ABP B AP A（2） ()( )( )()0.30.50.10.7P ABP AP BP AB2、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解解】设 A=飞机被击落，Bi=恰有 i 人击中飞机，i=0,

7、1,2,3 由全概率公式，得30( )(|) ()ii iP AP A B P B=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+ (0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7 =0.458 3、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格.据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解解】设 A=被调查学生是努力学习的，则=被调查学生是不努力学习的.由题意

8、知AP（A）=0.8，P（）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A）A=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知B A（1）( ) ()()()( )( ) ()( ) ()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A 0.2 0.110.027020.8 0.90.2 0.137 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%(2) ( ) ()()()( )( ) ()( ) ()P A P B AP ABP A BP BP A P B AP A P B A 0.8 0.140.30770.8 0.1 0.2 0.913 即考

9、试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 4、设两两相互独立的三事件，A，B 和 C 满足条件： ABC=，P(A)=P(B)=P(C)2 时，F（x）=P（X0）=1，故 01e2X1，即 P（0Y1）=1 当 y0 时，FY（y）=0 当 y1 时，FY（y）=1当 0y1 时，2( )()(e1)x YFyP YyPy 1ln(1)22 01(ln(1)22edyxP Xyxy 即 Y 的密度函数为1,01( )0,Yyfy 其他即 YU（0，1） 6、设 X，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为 PX=k=p（k），k=0，1，2， PY=r=q（r），r=0，1，2，

10、. 证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为PZ=i=，i=0，1，2，. ikkiqkp0)()(【证明证明】因 X 和 Y 所有可能值都是非负整数，所以ZiXYi0,1,1,0XYiXYiXi Y 于是 0,ikP ZiP Xk Yik X Y 相互独立0ikP XkP Yik A0( ) ()ikp k q ik第四章数字特征与特征函数1、设随机变量 X 的概率密度为f（x）= ., 0, 21,2, 10,他他xxxx求 E（X），D（X）.【解解】12201()( )dd(2)dE Xxf xxxxxxx213 320111.33xxx122232017()( )dd(2)d6E

11、Xx f xxxxxxx故 221()() ().6D XE XE X2、设随机变量 X 的概率密度为f(x)= ., 0,0,2cos21他他xx对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 /3 的次数，求 Y2的数学期望。【解解】令 1,3(1,2,3,4)0,3iX Yi X.则.因为41(4, )i iYYBp及,133pP XP X /3011cosd3222xP Xx所以111( ),( ),( )42,242iiE YD YE Y,2211( )41()()22D YE YEY 从而222()( ) ( )125.E YD YE Y 3、设两个随机变量 X，Y 相互独

13、度为fX(x)=., 0, 20,41, 01,21他他xx令 Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求： (1) Y 的概率密度 fY(y)； (2) Cov(X,Y);(3). 1(,4)2F 解解： (1) Y 的分布函数为.2( )YFyP YyP Xy当 y0 时，，；( )0YFy ( )0Yfy 当 0y1 时，3( )004YFyPyXyPyXPXyy；3( )8Yfyy当 1y4 时， 11( ) 10024YFyPXPXyy ；1( )8Yfyy当 y4 时，.( )1YFy ( )0Yfy 故 Y 的概率密度为 3,01,81( )0,14,80,.Yyyfyyy 其他(2) ,0210111()( )ddd244+XE X =xfx xx xx x-,02222210115( )()( )ddd)246+XE Y =E X=x fx xxxxx-,02233310117()()( )ddd248+XE XY =E Y=x fx xxxxx-故 Cov(X,Y) =.2()()( )3E XYE XE Y =-(3) 2111(,4),4,4222FP XYP XX 11, 22 222P XXPX

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