《概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题及答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、0第三章第三章多多维维随机随机变变量及其分布量及其分布一、填空题1、随机点落在矩形域的概率为),(YX,2121yyyxxx.),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF2、的分布函数为，则 0 .),(YX),(yxF),(yF3、的分布函数为，则),(YX),(yxF), 0(yxF),(yxF4、的分布函数为，则),(YX),(yxF),(xF)(xFX5、设随机变量的概率密度为),(YX，则 . 其其042, 20)6(),(yxyxkyxfk816、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.),(YX7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则 1 .),(yxfYX,
2、)(xfXX)(xf X8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0 .),(YXXYX Y0123jP1083 830863810081 82 iP81 83 83 8119、如果随机变量的联合概率分布为),(YXY X123161 91 181231则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， . ,XY18418210、设相互独立，则的联合概率密度YX,) 1 . 0(),1 , 0(NYNX),(YX，的概率密度 .),(yxf22221yx eYXZ)(ZfZ42221x e12、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 则 A =_1_。 yxyxyxAyxF00, 0
3、11 11 11 ,222二、证明和计算题 1、袋中有三个球，分别标着数字 1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律.XY),(YX解： 0311, 1YXP311312, 1YXP31 21 321, 2YXP31 21 322, 2YXP2、三封信随机地投入编号为 1,2,3 的三个信箱中，设为投入 1 号信箱的信数，为投入 2XY号信箱的信数，求的联合分布律.),(YX解：的可能取值为 0,1,2,3的可能取值为 0,1,2,3XY3310, 0YXP3331, 0YXP332 3 33 32, 0CYXPX Y12
4、1031231 3123313, 0YXP3330, 1YXP33231, 1YXP33132, 1YXP03, 1YXP32 3 30, 2CYXP3331, 2YXP02, 2YXP03, 2YXP3310, 3YXP03, 32, 31, 3YXPYXPYXPX Y01230271 273 273 2711273 276 27302273 2730032710003、设 函 数 F(x , y) = ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的 120121yxyx联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维
5、随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 2， 0 1= F(2 , 1) F(0 , 1) F(2 , 0) + F(0 , 0) = 111 + 0 = 1 0 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。4、设，有 01)(, 0)(dxxgxg且 其它,0,0,)(2 ),(2222 yxyxyxg yxf证明：可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。),(yxf证明：易验证，又),(yxf0 dxdyyxf),(dxdy yxyxg 002222)(2 02 001)()(2drrgrdrrrgd 符合概率密度函数的性质
6、，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。35、在 0, 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求的值。0)cos(YXP解：， 其它, 0,0,1 ),(2yxyxf0)cos(YXP43)23 2YXP6、设随机变量的密度函数为),(YX 其其00, 0),()43(yxkeyxfyx(1)确定常数(2)求的分布函数(3)求k),(YX20, 10YXP解：(1) 00)43(1dxekdyyx 0003 0434 123141keekdxedyekxyxy12k(2) yxyxvueedudveyxF 0043)43()1)(1 (1211212),()1)(1 (43yxee0,
7、 0yx0),(yxF(3)2 , 0()0 , 1 ()0 , 0()2 , 1 (20, 10FFFFYXP95021. 00)1)(1 (83ee7、设随机变量的概率密度为),(YX求 其其020, 103/),(2yxxyxyxf1YXP解： 110212)3(),(1yxxdyxyxdxdxdyyxfYXP1032 7265)65 34 2(dxxxx8、设随机变量在矩形区域内服从均匀分布，),(YX,| ),(dycbxayxD(1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量是否独立？YX,4解：(1)根据题意可设的概率密度为),(YX其其0,),(dycbxaMyxf ba
8、dccdabMdydxMdxdyyxf)(),(1于是，故)(1 cdabM 其其0,)(/(1),(dycbxacdabyxfdcXabcdabdydyyxfxf1 )(),()(即 其其01 )(bxaabxfXbaYcdcdabdxdxyxfyf1 )(),()(即 其其0)/(1)(dyccdyfY(2)因为，故与是相互独立的.)()(),(yfxfyxfYXXY9、随机变量的分布函数为求：),(YX 其它,00, 0,3331),(yxyxFyxyx（1）边缘密度；（2）验证 X,Y 是否独立。解：（1）， )33(3ln),(yxxxyxF,33ln),(22yxyxyxF.0,
9、0yx其它00, 033ln),(2yxyxfyx5, 其它0033ln33ln)(20xdyxfxyxX其它00,33ln33ln)(20ydxxfyyxY(2) 因为，故与是相互独立的.)()(),(yfxfyxfYXXY10、一电子器件包含两部分，分别以记这两部分的寿命(以小时记)，设的分布函YX,),(YX数为 其其00, 01),()(01. 001. 001. 0yxeeeyxFyxyx(1)问和是否相互独立？ (2)并求XY120,120YXP解：(1) 0001),()(01. 0xxexFxFxX0001),()(01. 0yyeyFyFyY易证，故相互独立.),()()(y
10、xFyFxFYXYX,(2)由(1)相互独立YX,1201 1201 120120120,120YPXPYPXPYXP091. 0)120(1)120(1 42eFFYX11、设 随 机 变 量 ( , )的 分 布 函 数 为 求：( 1 ) F x yA BarctgxCarctgy( , )()()23系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) ( , )的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。解：( 1 ) FA BC(,)()() 221FA BC(,)()() 220FA BC(,)()() 2206由 此 解 得 ABC1 22,( 2 ) ( , )()()x yxy6
11、 4922212、设相互独立且分别具有下列表格所定的分布律),(YX试写出的联合分布律.),(YX解：X Y210212181 61 241 611161 121 481 1213161 121 481 12113、设相互独立，且各自的分布律如下：YX,求的分布律.YXZ解：, 2 , 1 , 0kPkXPk, 2 , 1 , 0qYP的分布律为YXZ, 2 , 1 , 0iqPiZPkik的全部取值为 2,3,4Z41 21 21111, 12YPXPYXPZPY2113kP21 41 41X21021kP41 31 121 31X12kP21 21Y12kP21 2171, 22, 13Y
12、XPYXPZP21 21 21 21 211221YPXPYPXP41 21 21222, 24YPXPYXPZP14、 X,Y 相互独立，其分布密度函数各自为 00021 )(21xxexfxX 00031 )(3yyeyfyY求的密度函数.YXZ解：的密度函数为，YXZdxxZfxfZfYXZ)()()(由于在时有非零值，在即时有非零值，)(xfX0x)(xZfY0 xZZx 故在时有非零值)()(xZfxfYXZx 0ZZxZxZxZdxeedxeeZf 006332 61 31 21)()1 (63 063ZZ ZxZ eeee当时，0Z0)(Zf故 000)1 ()(63ZZeeZfZZZ
