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1、习习 题题 8 82 21.证明：线性方程零解的渐近稳定性等价于它的全局渐近稳定性证 只需证 的零的解渐近稳定的零解全局渐近稳定。yxaaxdy)(事实上，只需证：若 ，当且00y0),(,0, 0yxxyx有时则对一切有 ,10nRy 0),(0, 0yxxy).10(x同为 0),(0)(00yyxxyx0y10x所以 , 0)(sup)(sup)(01 0100yxsyxx yy当 故对任何解 有,10x),(0, 0yxxy故得让0)()()(),(00000yxyxyxyxxyx.)(,. 2稳定的充要条件的零解为稳定式或渐近试求出方程与七都是标量设xadtaxx解 方程满足初值条件
2、 的解为 0)10(xxdssastoextx)( 0)(1)当, 存在,时dssasto)(dssaatmlt)(:0故当 是有界的,设它的界为 M,即当, 0tdssat)(0于是对,取,则当时,.)(0Mdssat0me0x, 0t有 所方议程的零解是稳定的.mexx0)(反之,若方程的零解是稳定的,容易推出 .)(0dta(2)当时, .同而当时,dta)(00:)(0dssatetml, 0t是有界的,即存在 时,有于是对,取dssate)(0, 0M, 0tMedssat)(00.则当时, 就有 ,且 M0X, 0t)(x0:)( 00dssatextml所以方程的零解的是稳定的.
3、反之,若方程的零解是渐近稳定的,容易推出.dta)(03.对于极坐标下的方程.Q=1, 012vSvv的00 vv 当当试做出原点附近的排图,并研究平均衡点 的稳定性质.0v解 是方程的一个奇点,它的特解族 K=1, 2,是以0v tQkv)(1)(为半径以(0,0)为圆心的同心圆族,逆时针运行.在内部,无穷多个同心k1 1v圆轨道中.相邻两个同心圆之间的环域出发的轨道亦绕(0,0)逆时针旋转 且 时, , 时, .) 12(1 21 kvk0dtd kvk21 ) 12(10dtd,.时kvk21 ) 12(10dtdv其中，由每个环域的轨线之向径是严格单调函数，所以除nk )(tv外，已无
4、别拼闭轨。显然，平衡点是稳定的，但不是渐)2 . 1(1kkv0v近稳定的。4.设二阶常系数线性方程式 其中 A 是一个 22 的常短阵，88Adtd记(短阵 A 的迹反号) （短阵 A 的行列式）再设，tvAp Adeq022 qp试证：（1）当，零解是渐近稳定的；（2）当时且00qp时，零解是稳定的，但不是渐近稳定的；（3）在其0000qpqp且或且他情形下，零解都是不稳定的。证 设线性方程为 dycxdtdybyaxdtds则特征方程为 0)(02bcaddadbca记 tvAdap)(Adebcadq则变为 03qp特征根为 于是（1）当，qpp4(21,2 21时且00qp故由定理
5、8.0， 1）知零解是渐近稳定的0)4(212 1qpp2）当且 时， 或且时，0p0q01p20p0q，显然特征根所对应的若当块都是一阶的，故由定理 8.1 2)知,q21,零解是稳定的。3）在其他情形下，即。不论取何值，特征根中至少有一个实部为正，0pq或，故特征根至少有一个为正实根，又由0p0qq21,，所以不会出现，故由定理 8.1 3)知,零解都是不022 qp0p0q稳定的。5讨论二维方程 的零解的稳定性，其中函),(),(yxyfxyyxxfyx数在（0，0）点附近是连续可微的。),(yxf解 因为在（0，0）点附近是连续可微的。从而方程的右端也是连),(yxf续可微的，因而原方
6、程组的由初始条件所确定的解，在原点的某个领域内存在且惟一，是方和组的特解，取，则其通过方程组的全0, 0yx22),(yxyxv导数 ),(2),(2yxyxyyxxfyxdtdv),()(222yxfyx 因此，在原点的领域内如，则定负零解为渐近稳定；如0),(yxfdtdv，则定正，零解为不稳定；如则，则常负，零解为0),(yxfdtdv0),(yxfdtdv稳定。6设函数连续，且.当.试证方程 11Rx)(xg00)(xxxg当ox 的零解是稳定的,但不是渐近稳定的.0)(xgx证 令,则原方程可化为与之等价的方程但 ydtdxydtdx)(xgdtdy取定正函数 (由条件知,它是定正函
7、数).dssgsyyxvx)(21),(020)(xxg其中 ,当时, ,则有0)0(g0x0)(xxg0)()(xygxygdtdv故由定理 8.4 知.方程组的零解是稳定的,但不渐近稳定。7讨论下列方程零解的稳定性1) ,2. xyyxyxxy4. 2) , 53. xyx53. yxy3) , 2. )(2yxxxx233. )(2yxyyy4) , 32. 2yyxx52. 2xxyy解 1）取定正函数散 ,2. xyyx则 常负，故方程组)(2)(242yxxyxyyxdtdv0)(22422yxyx的零解是稳定的。2）取定正函数 44),(yxyxv则0)(4)(4)(488533
8、53yxyxyxyxdtdv定负，故方程组的零解是4) , 32. 2yyxx52. 2xxyy解 1）取定正函数散 ,2. xyyx则 常负，故方程组)(2)(242yxxyxyyxdtdv0)(22422yxyx的零解是稳定的。2）取定正函数 44),(yxyxv则 0)(4)(4)(48853353yxyxyxyxdtdv定负，故方程组的零解是渐近稳定的。3）取定正函数 则24),(yxyxv)(22)(2423323yxyyyyxxxxdtdv 1)(2)2(2244yxyx当时， 定负，故零解是渐近稳定的。21 yxdtdv4）取 则 xyyxv),(02)2()(64225232x
9、yyxxxyyyzxydtdv由此可知，是正定函数，而 是变号函数，所以方程组的零解是不稳定的。dtdvv习习 题题 8 83 31.判断下列方程的奇点（0，0）的类型，并作出该奇点的附近的相图：1）；.,4yxyx2） ；22.2. 2,2yxyxyxyyxx3） ；1,2yeyxyyxx4） ；325,2xxyyyxx解 1）0（0，0）为系统的惟一奇点,特征方程为 014 91 特征根 ,实部，故奇点为中心点。i35,2102该系统的一次近似系统为， yxdtdx 2yxdtdy2特征方程 021 12 特征根 为大于零的相异的实数，所以一次近系统的奇点3, 1210（0，0）是不稳定两
10、向结点。又 )(0),(42vxyyx)(),(22voyxyx当；、在原点的一个小领域内对连续可微，故由定理 8.60v),(4yx),(yxyx,知,原系统的奇点 0(0.0)也是不稳定两向结点。3）令系统右端等于零，得 求得惟一奇点 0（0.0）. 01042yeyxsyyx将与分别在按泰勒分式展开得ysinye0y ),(42)211 (1),(452314223yxyxyyyxdtdyyxyxyyyxdtdx其中满足定理 8.6 的条件,上述系统的一次系统为),(),(4yxxyx特征方程 yxdtdyyxdtdx252 025 12 特征方程322 ,1因而一次近似系统的奇点 0(
11、0.0)为鞍点,由定理 8.6 知,原系统的奇点 0(0.0)也是鞍点。4）原系统可写为 ),(42yxyxdtdx),(5yxxyxdtdy其中 。 它的一次近似系统0),(4yx3),(xyxxyxdtdyyxdtdx522特征方程为 052 21 特征根 0321由于。 故矩阵的标准列为02 b 1330所以一次近似系统的奇点 0（0，0）是不稳定的单向结点，又，),(4yx当，故由定理 8.6 知,原系统的奇点 0(0,0)也是不稳定的)(0),(1yxx0单向结点。2.设函数在单连通区域口内连续可微，且，),(),(yxQyxp0 yQ xp当。Dyx),(试证系统，在口内不存在闭轨线。. ),(yxpx ),(. yxQy 证：反让法、若不然，设原方程但有一条闭轨线 C，C 连其内部区域 G 全部被包含在 D 内，因为 D 是单连通的。于是由格林公式有dyQ xp GTSSQayc dy上式左边为0)()(dtQPPQQaycc而右边被积函数在 G 中不等于零，故=重积分不等于零，故矛盾。同此原方程组在 D 内不存在闭轨线。
