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1、习习 题题 8 82 21.证明:线性方程零解的渐近稳定性等价于它的全局渐近稳定性证 只需证 的零的解渐近稳定的零解全局渐近稳定。yxaaxdy)(事实上,只需证:若 ,当且00y0),(,0, 0yxxyx有时则对一切有 ,10nRy 0),(0, 0yxxy).10(x同为 0),(0)(00yyxxyx0y10x所以 , 0)(sup)(sup)(01 0100yxsyxx yy当 故对任何解 有,10x),(0, 0yxxy故得让0)()()(),(00000yxyxyxyxxyx.)(,. 2稳定的充要条件的零解为稳定式或渐近试求出方程与七都是标量设xadtaxx解 方程满足初值条件
2、 的解为 0)10(xxdssastoextx)( 0)(1)当, 存在,时dssasto)(dssaatmlt)(:0故当 是有界的,设它的界为 M,即当, 0tdssat)(0于是对,取,则当时,.)(0Mdssat0me0x, 0t有 所方议程的零解是稳定的.mexx0)(反之,若方程的零解是稳定的,容易推出 .)(0dta(2)当时, .同而当时,dta)(00:)(0dssatetml, 0t是有界的,即存在 时,有于是对,取dssate)(0, 0M, 0tMedssat)(00.则当时, 就有 ,且 M0X, 0t)(x0:)( 00dssatextml所以方程的零解的是稳定的.
3、反之,若方程的零解是渐近稳定的,容易推出.dta)(03.对于极坐标下的方程.Q=1, 012vSvv的00 vv 当当试做出原点附近的排图,并研究平均衡点 的稳定性质.0v解 是方程的一个奇点,它的特解族 K=1, 2,是以0v tQkv)(1)(为半径以(0,0)为圆心的同心圆族,逆时针运行.在内部,无穷多个同心k1 1v圆轨道中.相邻两个同心圆之间的环域出发的轨道亦绕(0,0)逆时针旋转 且 时, , 时, .) 12(1 21 kvk0dtd kvk21 ) 12(10dtd,.时kvk21 ) 12(10dtdv其中,由每个环域的轨线之向径是严格单调函数,所以除nk )(tv外,已无
4、别拼闭轨。显然,平衡点是稳定的,但不是渐)2 . 1(1kkv0v近稳定的。4.设二阶常系数线性方程式 其中 A 是一个 22 的常短阵,88Adtd记(短阵 A 的迹反号) (短阵 A 的行列式)再设,tvAp Adeq022 qp试证:(1)当,零解是渐近稳定的;(2)当时且00qp时,零解是稳定的,但不是渐近稳定的;(3)在其0000qpqp且或且他情形下,零解都是不稳定的。证 设线性方程为 dycxdtdybyaxdtds则特征方程为 0)(02bcaddadbca记 tvAdap)(Adebcadq则变为 03qp特征根为 于是(1)当,qpp4(21,2 21时且00qp故由定理
5、8.0, 1)知零解是渐近稳定的0)4(212 1qpp2)当且 时, 或且时,0p0q01p20p0q,显然特征根所对应的若当块都是一阶的,故由定理 8.1 2)知,q21,零解是稳定的。3)在其他情形下,即。不论取何值,特征根中至少有一个实部为正,0pq或,故特征根至少有一个为正实根,又由0p0qq21,,所以不会出现,故由定理 8.1 3)知,零解都是不022 qp0p0q稳定的。5讨论二维方程 的零解的稳定性,其中函),(),(yxyfxyyxxfyx数在(0,0)点附近是连续可微的。),(yxf解 因为在(0,0)点附近是连续可微的。从而方程的右端也是连),(yxf续可微的,因而原方
6、程组的由初始条件所确定的解,在原点的某个领域内存在且惟一,是方和组的特解,取,则其通过方程组的全0, 0yx22),(yxyxv导数 ),(2),(2yxyxyyxxfyxdtdv),()(222yxfyx 因此,在原点的领域内如,则定负零解为渐近稳定;如0),(yxfdtdv,则定正,零解为不稳定;如则,则常负,零解为0),(yxfdtdv0),(yxfdtdv稳定。6设函数连续,且.当.试证方程 11Rx)(xg00)(xxxg当ox 的零解是稳定的,但不是渐近稳定的.0)(xgx证 令,则原方程可化为与之等价的方程但 ydtdxydtdx)(xgdtdy取定正函数 (由条件知,它是定正函
7、数).dssgsyyxvx)(21),(020)(xxg其中 ,当时, ,则有0)0(g0x0)(xxg0)()(xygxygdtdv故由定理 8.4 知.方程组的零解是稳定的,但不渐近稳定。7讨论下列方程零解的稳定性1) ,2. xyyxyxxy4. 2) , 53. xyx53. yxy3) , 2. )(2yxxxx233. )(2yxyyy4) , 32. 2yyxx52. 2xxyy解 1)取定正函数散 ,2. xyyx则 常负,故方程组)(2)(242yxxyxyyxdtdv0)(22422yxyx的零解是稳定的。2)取定正函数 44),(yxyxv则0)(4)(4)(488533
8、53yxyxyxyxdtdv定负,故方程组的零解是4) , 32. 2yyxx52. 2xxyy解 1)取定正函数散 ,2. xyyx则 常负,故方程组)(2)(242yxxyxyyxdtdv0)(22422yxyx的零解是稳定的。2)取定正函数 44),(yxyxv则 0)(4)(4)(48853353yxyxyxyxdtdv定负,故方程组的零解是渐近稳定的。3)取定正函数 则24),(yxyxv)(22)(2423323yxyyyyxxxxdtdv 1)(2)2(2244yxyx当时, 定负,故零解是渐近稳定的。21 yxdtdv4)取 则 xyyxv),(02)2()(64225232x
9、yyxxxyyyzxydtdv由此可知,是正定函数,而 是变号函数,所以方程组的零解是不稳定的。dtdvv习习 题题 8 83 31.判断下列方程的奇点(0,0)的类型,并作出该奇点的附近的相图:1);.,4yxyx2) ;22.2. 2,2yxyxyxyyxx3) ;1,2yeyxyyxx4) ;325,2xxyyyxx解 1)0(0,0)为系统的惟一奇点,特征方程为 014 91 特征根 ,实部,故奇点为中心点。i35,2102该系统的一次近似系统为, yxdtdx 2yxdtdy2特征方程 021 12 特征根 为大于零的相异的实数,所以一次近系统的奇点3, 1210(0,0)是不稳定两
10、向结点。又 )(0),(42vxyyx)(),(22voyxyx当;、在原点的一个小领域内对连续可微,故由定理 8.60v),(4yx),(yxyx,知,原系统的奇点 0(0.0)也是不稳定两向结点。3)令系统右端等于零,得 求得惟一奇点 0(0.0). 01042yeyxsyyx将与分别在按泰勒分式展开得ysinye0y ),(42)211 (1),(452314223yxyxyyyxdtdyyxyxyyyxdtdx其中满足定理 8.6 的条件,上述系统的一次系统为),(),(4yxxyx特征方程 yxdtdyyxdtdx252 025 12 特征方程322 ,1因而一次近似系统的奇点 0(
11、0.0)为鞍点,由定理 8.6 知,原系统的奇点 0(0.0)也是鞍点。4)原系统可写为 ),(42yxyxdtdx),(5yxxyxdtdy其中 。 它的一次近似系统0),(4yx3),(xyxxyxdtdyyxdtdx522特征方程为 052 21 特征根 0321由于。 故矩阵的标准列为02 b 1330所以一次近似系统的奇点 0(0,0)是不稳定的单向结点,又,),(4yx当,故由定理 8.6 知,原系统的奇点 0(0,0)也是不稳定的)(0),(1yxx0单向结点。2.设函数在单连通区域口内连续可微,且,),(),(yxQyxp0 yQ xp当。Dyx),(试证系统,在口内不存在闭轨线。. ),(yxpx ),(. yxQy 证:反让法、若不然,设原方程但有一条闭轨线 C,C 连其内部区域 G 全部被包含在 D 内,因为 D 是单连通的。于是由格林公式有dyQ xp GTSSQayc dy上式左边为0)()(dtQPPQQaycc而右边被积函数在 G 中不等于零,故=重积分不等于零,故矛盾。同此原方程组在 D 内不存在闭轨线。