解几中过定点问题

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1、1解析几何中过定点问题探究解析几何中过定点问题探究数学组 冯立华 2015 年 10 月一、直线过定点问题一、直线过定点问题在直线方程中有一类含有一个参数，且该参数影响到直线的斜率，则要考虑直线过定点。一般有以下方式求出定点： 1.点斜式法：点斜式法：注意：将直线方程化成的形式，则定点坐标为.)(00xxkyy),(00yx例 1：已知直线（为常数，为参数），不论取何值，直线总过0kkyaxa0kk定点 2. 分离系数法：分离系数法：注意：若已知方程是含有一个参数的直线系方程，则我们可以把系数中的m分离出来，化为的形式.由解出和的值，m0),(),(yxmgyxf 0),(0),( yxgyx

2、fxy即得定点坐标.例 2：无论取何实数，直线恒过定点，此定点m0)11()3() 12(mymxm坐标为3.特殊特殊值值法：法：注意：取参数的两个特殊值可得两条直线的方程，求出它们的交点后，在验证交点坐标也适合所给直线方程.例 3：无论取何实值，所表示的直线恒过一定m067)25()43(mymxm点，此定点坐标为 二、有关圆锥曲线中的直线过定点问题二、有关圆锥曲线中的直线过定点问题处处理理这类问题这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证证明明这这个点与个点与变变量无关；二是直接推理、量无关；二是直接推理、计计算，并在算，并在计计算算过过程中

3、消去程中消去变变量，从而得到定点。量，从而得到定点。2例例 1： ： 设设 A、 、B 是抛物是抛物线线（ （p0）上的两点，且）上的两点，且 OA OB，求，求证证： ：22ypx（1）A、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；（2）直线 AB 经过一个定点。证明：（1）设 A（）、B（），则，。11,x y22,xy2 112ypx2 222ypx=，为定值，22 121222yypxpx22 121244p x xp y y 2 124y yp 也为定值。2 12124x xy yp （2），22 21212112()()2 ()yyyyyyp xx12xx2121122yyp

4、xxyy直线 AB 的方程为：2 1 11 12122ypyyxyyyyy2121224ppxyyyy，直线 AB 过定点（2p，0）。122(2 )pxpyy例例 2： ：设设抛物抛物线线（ （p0）的焦点）的焦点为为 F， ，经过经过点点 F 的直的直线线交抛物交抛物线线于于22ypxA、 、B 两点，点两点，点 C 在抛物在抛物线线的准的准线线上，且上，且 BC x 轴轴， ，证证明：直明：直线线 AC 经过经过原点。原点。方法 1：设直线方程为，A()2pyk x，B，C，11( ,)x y22(,)xy2(,)2py，2()2 2pyk xypx 2220pyypk，又2 12y y

5、p 11OAykx2122OCypkpy ，即 k 也是直线 OA 的斜率，所以 AC 经过原点 O。2 112ypx11OCOAykkx当 k 不存在时，ABx 轴，同理可证。OCOAkk方法 2：如图 2 过 A 作 ADl，D 为垂足，CxyO FBA图 2xyFBACDO图 3NE3则：ADEFBC 连结 AC 与 EF 相交于点 N，则，| |ENCNBF ADACAB，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，| |NFAF BCAB.| | |ADBFAFBCENNFABAB点评：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平

6、面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法 较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻性。练习：已知椭圆上的两个动点及定点 ，为椭圆的左焦点，22 142xy,P Q61,2M F且，成等差数列.求证：线段的垂直平分线经过一个定点；PFMFQF 1PQA设点关于原点的对称点是，求的最小值及相应的点坐标. 2AOBPBP补充：补充：一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如 2013 年高考有陕 西 T20江西 T20 等。解析几何的难点之一是运算

7、量往往非常大，而且这个难点很不容易 突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问 题。神奇之处有两点：（1）运算量少（从而出错机会少） 。 （2）联立方程不是消元，而化 为齐次式（亲，估计您从未见识过） 。一、引理：过原点两直线与二次曲线一、引理：过原点两直线与二次曲线 一条直线与一个二次曲线交于两点 AB,如图；设直线 AB 方程为mkxy 曲线方程为feydxcxybyax22=0 （说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、双曲线、抛物线，若倾斜必含有 xy项，即0c）将化为, 化为 mkxy10111222feydxcxybyax将代入（目的使将中所有

8、项化为二次齐次式）得：mkxy1yxOAB40)(222mkxyfmkxyeymkxydxcxybyax显然是一个二次齐次式，且一定可化为 022CxBxyAy即： 0)()(2CxyBxyA中的几何意义为 A、B 两点（即 AB 直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即 OA、OBxy的斜率，设为 。 21,kk由韦达定理知 从而，能通过最初的二次曲线和直线 AB 相交，得出 OA、OB 的性质。倒过来，我们也 可以通过 OA 和 OB 的性质与二次曲线得出直线 AB 的性质。 下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例 1 开始，因为简单的问题往往蕴含了最 基本的方法。 二、应用举例二、应用举

9、例例 1.抛物线,过原点的两条垂直的直线 OA，OB 交抛物线于 A、B。求证：直pxy22线 AB 过轴上一定点。x 分析分析：知道 OA 与 OB 的一个性质：垂直，从而可以从它得出 AB 的性质，进而得出定点。解：设 AB：( 显然 AB 不能横着） nmyx抛物线： pxy22化为代入（目的化为二次齐次式）得nmyx1即 nmyxpxy 22022nmyxpxy可化为022CxBxyAy其中 0)()(2CxyBxyA1AnpC2又（因 OA 与 OB 垂直）np ACkkOBOA21OBOAkk， AB 恒过点（2p 0)pn2说明说明：没有必要求出 B 值，因为目标与 B 值无关，

10、从而减少了运算量！减少了运算量！下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原 点，请看以下“分解分解” 。例 2。点 p(，)是抛物线上任意一定点，PA，PB 是抛物线的两条互相0x0ypxy22。,21ABkkACkk215垂直的弦，求证：AB 过定点。 分析：分析：注意到 PAPB,但可惜 P 不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移 到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。解：解：平移坐标系，使 P 为原点，则点 P点 O抛物线旧坐标系),(00yx)0 , 0(pxy22新坐标系)0 , 0(),(00yx )(2)(02 0xxpyy在新坐

11、标系下，设 AB: mnyx抛物线可化为 )(2)(02 0xxpyy02202pxyyy（注意常数项肯定为 0，因为抛物线过原点 P，故没有必要计算常数项）把化为代入得mnyx102202mnyxpxmnyxyyy可化为 022CxBxyAy其中，。0)()(2CxyBxyAmnyA021mpC2PBPA 1220nymp ACkkPBPA。AB：，即mnyp022nypnyx022pyynx2)2(0直线 AB 在新坐标系过点在原坐标系过点。)2,2(0yp ),2(00ypx说明：此题是例 1 的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：设直线 AB：代入抛物线方程得：mnyxpxy2

12、2)(22mnypy整理得：，设 A、B 两点坐标分别为，则0222pmpnyy),(11yx),(22yx，pnyy221pmyy221又PBPA 0)()(02010201yyyyxxxx0)(22)( 4)(2 0210212 00212 21 22 21yyyyyyxxpyyyy pyy整理得: （亲，这一步写出容易，算出来还真不容易！）002nypxmAB： pxyynx2)(00。yp。xAB00,2恒过点直线6小结小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假 原点，都可化为过原点的两直线， （假原点就强行平移坐标系） 。注意此时点的坐标与曲线的方程都

13、会发生改变！其实质是平移公式。如例 2 旧 P，新 P，所以移轴公),(00yx)0 , 0(式为 其中为新坐标，与之对应的为同一点的旧坐标，所以 00 yyyxxx),(yx),(yxO 新坐标为。抛物线 即),(00yx pxy22)(2)(02 0xxpyy)(2)(02 0xxpyy直线 AB 在新系下过点，则在旧系下过点。)2,2(0yp ),2(00ypx下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。 三、解析高考解析高考例 3。 （2013 年高考江西卷理 20）如图,椭圆经过点离心率2222+=1( 0)xyCa bab：3(1, ),2P,直线 的方程为.1=2el=4x

14、(1) 求椭圆的方程;C (2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线 相交于点,记ABFPABlM的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求,PA PB PM123, .k k k123+=.kkk的值;若不存在,说明理由.解析:(1)略：椭圆的方程为. (2)：平移坐标系，使点 P 为原点,则C22 143xy点 P点 O直线l椭圆点 F旧坐标系)23, 1 ()0 , 0(X=422 143xy)0 , 1 (7新坐标系)0 , 0()23, 1(X=313)23(4) 1(22 yx)23, 0( 设在新系下，AB：mkxy （显然直线 AB 不可能竖着） ，可化为 mkxy1椭圆方程可化为： 0)3(4)2(322yyxx把代入，化为齐次式:01246322mkxyyymkxyxx上式可化为： 即 022CxBxyAy0)()(2CxyBxyA又直线 AB 过点 F,)23, 0( 23m故注意到注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变！其中，, 4124mA) 12(4126126kmk mk mB.易求1221kABkk) 12(23 2333kkmkyM故，故存在常数 使得恒成立。) 12(213kxykMM,