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1、1 1 圆锥曲线难题破解圆锥曲线难题破解 一、一、 用圆锥曲线的定义简捷解题。用圆锥曲线的定义简捷解题。 例例 1 1： 设 F1，F2是椭圆+=1 的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则|PF1| |PF2|的最小值 2 4 x 2 y 是_. 结论结论 1 1 若 P 是以 F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，则 b2|PF1| 2 2 22 1(0)ab y x ab |PF2| a2. 结论结论 2 2 若点 P 是以 F1，F2为焦点的双曲线上的任意一点，则 2 2 22 1 y x ab |PF1| |PF2|. 2 b 例例 2 2： 如果点 A 的坐标为（1,1） ，F1是椭圆的
2、左焦点，点 P 是椭圆上的动点，则 2 2 5945 y x |PA|+|PF1|的最小值为_. （如果要求|PA|+|PF1|的最大值呢？） 2 2 二、从分析图像特征寻求解题思路二、从分析图像特征寻求解题思路 例例 1 1： （2010 年北京卷）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于. 1 3 （1）求动点 P 的轨迹方程. （2）设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交与点 M,N，问：是否存在点 P 使得 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由.PABPMN与 例例 2
3、 2： （2009 年湖北卷）过抛物线的对称轴上一点 A（,0）(0)的直线与抛 2 2(0)px p y aa 物线相交于 M,N 两点，自 M,N 向直线作垂线，垂足分别为,.: l xa 1M1N （1）当=时，求证： .a 2 p 11 AMAN （2）记的面积分别为是否存在，使得对任意的 1111 ,AMMAM NANN 123 ,.s s s a 0，都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 1 3 2 s s s 3 3 三、三、 “定定”型问题型问题 1 1、定点问题、定点问题: : 例例 1 1： 已知椭圆 C：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆 2
4、 2 22 1(0)ab y x ab 1 2 与直线相切。60xy （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P（4,0） ，A，B 是椭圆 C 上关于轴对称的任意两个不同的点，连结 PB 交椭圆 x C 与另外一点 E，证明直线 AE 与轴相交于定点 Q； x （3）在（2）的条件下，过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点，求的取值范围.OMON uuuu ruuu r 2 2、定值问题：、定值问题： 例例 2 2： 已知椭圆的离心率为. 2 2 22 1(0)ab y x ab 6 3 （1）若原点到直线，求椭圆的方程.02xyb 的距离为 （2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线 和
5、椭圆交与 A,B 两点45ol （）当|AB|=时，求 b 的值；3 （）对于椭圆上任一点 M，若,求实数满足的关系式.OMOAOB uuuu ruu u ruuu r , 4 4 例例 3 3： 给定椭圆 C：，称圆心在原点 O，半径为的圆是椭圆 C 的“准 2 2 22 1(0)ab y x ab 22 ab 圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F（，0） ，其短轴上的一个端点到 F 的距离为.23 （1）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程. （2）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点，过点 P 作直线，使得与椭圆 C 都只 12 ,l l 12 ,l l 有一个交点，且分别交其“准圆”
6、于点 M,N. 12 ,l l 当 P 为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程； y 12 ,l l 求证：|MN|为定值. 四、最值问题四、最值问题 例例 1 1： 已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F（0，） ，且长轴长与短轴长的比是：1.22 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1，过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直 线 PA，PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B，求证：直线 AB 的斜率为定值； （3）求的面积的最大值.PAB 5 5 例例 2 2： 已知抛物线，点 M（1,0）关于 y 轴对称的点为 N，直线 过点 M 交抛物线
7、于 A,B 2 4x y l 两点. （1）证明：直线 NA，NB 的斜率互为相反数. （2）求面积的最小值.ANB （3）当点 M 的坐标为（,0）(0,且)时，根据（1） （2）推测并回答下列问题mm1m （不必说明理由）： 直线 NA，NB 的斜率是否互为相反数？ 面积的最小值是多少？ANB 例例 3 3： 长为 （ c0.如图，点、是相应椭圆的焦点，、 222 abc 0 F 1 F 2 F 1 A 和、分别是“果圆”与 x、y 轴的交点. 2 A 1 B 2 B （1）若是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程； 012 F FF （2）当|时，求的取值范围； 12 |A A 1
8、2 B B b a （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数 k，使 斜率为 k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 k 值；若不存在，说明理由. 8 8 答案解答案解 一、一、 用圆锥曲线的定义简捷解题。用圆锥曲线的定义简捷解题。 例例 1 1：解析：解析： 方法方法 1 1：解：解：设|=x,则由椭圆定义得|=4-x，易知a cxac ，即 1 PF 2 PF 2 323x . 12 | |PFPF = (4)xx = 22 4(2)4xxx ，在2 3 ，2上递增，在 2,2+上递减，所有 12 | |PFPF 在2 3
9、或 2+时取得最小值。所有33 12min (| |)PFPFg =+4=1. 2 (232) 方法方法 2 2：解：解：设 P（，） ，则由焦半径公式得|=2+，|=2-，所以 0 x 0 y 1 PF 0 3 2 x 2 PF 0 3 2 x .因为，所以当=-2 或=2 时， 2 1200 0 333 | | (2)(2)4 224 PFPFxx x 0 22x 0 x 0 x 取得最小值 1. 12 | |PFPF 例例 2 2：解析：解析： 解：解：已知椭圆的半轴长 =3，由椭圆定义，可得 6=+ 2 2 1 95 y x a2a 1 |PF 2 |PF .所以.因为右焦点的坐标为（
10、2,0） ，所以 12 |PFPAAF 12 | 6 |PAPFAF 2 F . 2 |1 12AF 所以（此时 P,A,共线，且 A 在 P，之间）. 1min (|)62PAPF 2 F 2 F 二、从分析图像特征寻求解题思路二、从分析图像特征寻求解题思路 例例 1 1：解析：解析： 解：(1)因为点 B 与点 A(1,1)关于原点 O 对称，所以点 B 的坐标为(1，1) 9 9 设点 P 的坐标为(x，y)由题意得，化简得4 (x1) 111 113 yy xx 22 3xy 故动点 P 的轨迹方程为4(x1) 22 3xy (2)方法 1：设点 P 的坐标为(，)，点 M、N 的坐标
11、分别为(3，)、(3，)， 0 x 0 y M y N y 则直线 AP 的方程为 y1(x1)，直线 BP 的方程为 y1(x1) 令 x3 得，.于是PMN 的面积 M y 00 0 43 1 yx x N y 00 0 23 1 yx x SPMN.又直线 AB 的方程为 xy0，|AB|， 0 1 |(3) 2 MN yyx 2 000 2 0 |(3) |1| xyx x 2 2 点 P 到直线 AB 的距离 d，于是PAB 的面积 SPAB|AB|d. 00 | 2 xy1 2 00 |xy 当 SPABSPMN 时，得又0，所以(3) 00 |xy 2 000 2 0 |(3)
12、|1| xyx x 00 |xy 0 x 2|1|，解得 .因为34，所以.故存在点 P 使得PAB 与 2 0 x 0 x 5 3 2 0 x 2 0 y 0 y 33 9 PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为( ，) 5 3 33 9 方法 2：若存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点 P 的坐标为(，) 0 x 0 y 则|PA|PB|sinAPB|PM|PN|sinMPN.因为 sinAPBsinMPN， 1 2 1 2 所以,即，即(3)2|1|，解得 .因为34， PAPN PMPB 00 00 |1|3| |3|1| xx xx 0 x 2 0 x 0 x 5 3
13、 2 0 x 2 0 y 所以.故存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等， 0 y 33 9 此时点 P 的坐标为( ，) 5 3 33 9 1010 例例 2 2：解析：解析： 分析：本小题主要考查抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运 用数学知识进行推理运算的能力. 解:依题意,可设直线 MN 的方程为 x=my+a,M(x1,y1),N(x2,y2),则有 M1(-a,y1),N1(-a,y2). 由，消去 x 可得. 2 2 xmya ypx 2 220ympyap 从而有 12 12 2 2 yymp y yap 于是 x1+x2=m(y1+y2)+2a=2
14、(m2p+a). 又由 y12=2px1,y22=2px2, 可得. 22 2 12 12 22 ()( 2) 44 y yap x xa pp (1)如右图,当时,点 A(,0)即为抛物线的焦点,l 为其准线. 2 p a 2 p 2 p x 此时 M1(,y1),N1(,y2), 2 p 2 p 并由可得 y1y2=-p2. 方法 1=(-p,y1), =(-p,y2), 1 AM uuuur 1 AN uuuu r =p2+y1y2=p2-p2=0, 1 AM uuuur 1 AN uuuu r 即 AM1AN1. 方法 2:, , 1 1 AM y k p 1 2 AN y k p ,
15、 即 AM1AN1. 11 2 12 22 1 AMAN y yp kk pp 1111 (2)存在 =4,使得对任意的 a0,都有 S22=4S1S3成立. 证明如下: 方法 1: 记直线 与 x 轴的交点为 A1，则|OA|=|OA1|=a.l 于是有 S1=|MM1|A1M1|=,S2=|M1N1|AA1|=a|y1-y2|, 1 2 11 1 ()| 2 xay 1 2 S3=|NN1|A1N1|=. 1 2 22 1 ()| 2 xay S22=4S1S3(a|y1-y2|)2=(x1+a)|y1|(x2+a)|y2|a2(y1+y2)2-4y1y2 =x1x2+a(x1+x2)+a2|y1y2|. 将代入上式化
