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1、O D C BA O E D C B A F O E DCB A F O E DC B A 圆的证明与计算圆的证明与计算 专专 题题 研研 究究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题,此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响,所以解 决好此题比较关键。 一、考点分析:一、考点分析: 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来
2、证明垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证 明和计算中经常用到. 二、考题形式分析二、考题形式分析: 主要以解答题的形式出现,第 1 问主要是判定切线;第 2 问主要是与圆有关的计算:求线段长(或面积) ;求 线段比;求角度的三角函数值(实质还是求线段比) 。 三、解题秘笈三、解题秘笈: 1 1、判定切线的方法:、判定切线的方法: (1)若切点明确,则若切点明确,则“连半径,证垂直连半径,证垂直” 。 常见手法有:全等
3、转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直; (2)若切点不明确,则若切点不明确,则“作垂直,证半径作垂直,证半径” 。 常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线; 总而言之,要完成两个层次的证明:直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点) ;直线与半径的关系是互相垂 直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例: (1)如图,AB是O的直径,BCAB,ADOC交O于D点,求证:CD为O的切线; (2)如图,以RtABC的直角边AB为直径作O,交斜边AC于D,点E为BC的中点,连结DE,求证
4、:DE是 O的切线. (3)如图,以等腰ABC的一腰为直径作O,交底边BC于D,交另一腰于F,若DEAC于E(或E为CF中点) , 求证:DE是O的切线. (4)如图,AB是O的直径,AE平分BAF,交O于点E,过点E作直线EDAF,交AF的延长线于点D,交 AB的延长线于点C,求证:CD是O的切线. 2 2、与圆有关的计算:、与圆有关的计算: 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规 律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进 行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线
5、段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的 数学思想方法有: (1 1)构造思想)构造思想:如:构建矩形转化线段;构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所 有线段长) ;构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;构造勾股定理模型;构造三角函数. (2 2)方程思想:)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问 题。 (3 3)建模思想:)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形 的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 3 3、典
6、型基本图型:、典型基本图型: 图形图形 1 1:如图 1:AB是O的直径,点E、C是O上的两点,基本结论有:,基本结论有: (1)在“AC平分BAE” ;“ADCD” ;“DC是O的切线”三个论断中,知二推一。 (2)如图 2、3,DE等于弓形BCE的高;DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF) 。 (3)如图(4):若CKAB于K,则: CK=CD;BK=DE;CK=BE=DC;AE+AB=2BK=2AD; 2 1 ADCACBAC2=ADAB (4)在(1)中的条件、中任选两个条件,当BGCD 于E时(如图 5) ,则: DE=GB;DC=CG;AD+BG=AB;ADBG=DC2
7、2 4 1 DG 图形图形 2 2:如图:RtABC中,ACB=90。点O是AC上一点,以OC为半径作O交AC于点E,基本结论有基本结论有: (1)在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC” 。四个论断中,知一推三。 (2)G是BCD的内心; ;BCOCDEBODE=COCE=CE2; 2 1 (3)在图(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。 (4)如图(3) ,若BC=CE,则:=tanADE;BC:AC:AB=3:4:5 ;(在、中知一推二) AD AE 2 1 设BE、CD交于点H,,则BH=2EH 图形图形 3 3:如图:RtABC中,ABC=9
8、0,以 AB 为直径作O 交 AC 于 D,基本结论有:基本结论有: 图 2 E G O F D C B A H 图 3 A B C D F O G E 图 1 EO D C B A O E A B C D 图 1 O E D C BA F 图 2 AB C D E O F 图 3 AB C D E O K 图 4 A B C D E O G 图 5 A B C D E O CG=GD 如右图:(1)DE切OE是BC的中点; (2)若DE切O,则:DE=BE=CE; D、O、B、E四点共圆CED=2A CDCA=4BE2, BA BC BD CD R DE 图形特殊化:在(图形特殊化:在(1
9、1)的条件下)的条件下 如图 1:DEABABC、CDE是等腰直角三角形; 如图 2:若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则: ; 3 1 EF DE 2 1 R BE 图形图形 4 4:如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径作O,交BC于点D,交AC于点F, 基本结论有:基本结论有: (1)DEACDE切O; (2)在DEAC或DE切O下,有:DFC是等腰三角形; EF=EC;D是 的中点。与基本图形基本图形 1 1 的结论重合。 连 AD,产生母子三角形。 图形图形 5 5:以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于, 基本结论有基本结论有: (1)如图 1:AD+BCCD
10、; COD=AEB=90; OD平分ADC(或OC平分BCD) ;(注:在、及 “CD是O的切线”四个论断中,知一推三) ADBC 2=R2; AB 4 1 (2)如图 2,连AE、CO,则有:COAE,COAE=2R2(与基本图形 2 重合) (3)如图 3,若EFAB于F,交AC于G,则:EG=FG. 图形图形 6 6:如图:直线PRO的半径OB于E,PQ切O于Q,BQ 交直线PQ于R。 基本结论有:基本结论有: A C D O E B 图 1图 2 F B D E O C A Q R PE O B A Q R P E O B Q R P E O B A Q RP E O B F E D
11、C B O ABF 图 1 O E D CB A 图 2 F A B C D E O 图 3 G F A B C D E O (1)PQ=PR (PQR是等腰三角形); (2)在“PROB” 、 “PQ切O” 、 “PQ=PR”中,知二推一 (3)2PRRE=BRRQ=BE2R=AB2 图形图形 7 7:如图,ABC内接于O,I为ABC的内心。基本结论有:基本结论有: (1)如图 1,BD=CD=ID;DI2DEDA; AIB=90+ACB; 2 1 (2)如图 2,若BAC=60,则:BD+CE=BC. 图形图形 8 8:已知,AB是O的直径,C是 中点,CDAB于D。BG交CD、AC 于E
12、、F。基本结论有:基本结论有: (1)CD=BG;BE=EF=CE;GF=2DE 2 1 (反之,由CD=BG或BE=EF可得:C是 中点) 2 1 (2)OE=AF,OEAC;ODEAGF 2 1 (3)BEBG=BDBA (4)若D是OB的中点,则:CEF是等边三角形; 四、范例讲解:四、范例讲解: H O G F E D C BA BC=CG=AG BG BG 图 1 E O I D CB AA B C D I O E 图 2 O C F E D B A 1.1.ABP中,ABP=90,以AB为直径作O交AP于C点,弧=,过C作AF的垂线,垂足为M,MC的延长线 CF CB 交BP于D.
13、 (1)求证:CD为O的切线; (2)连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,求的值。 AF EF 2 2直角梯形ABCD中,BCD=90,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F. 求证:CD为O的切线 若,求的值 5 3 AB BE DF BF 3 3如图,AB为直径,PB为切线,点C在O上,ACOP。 (1)求证:PC为O的切线。 (2)过D点作DEAB,E 为垂足,连AD交BC于G,CG=3,DE=4,求的值。 DB DG 4 4。如图,已知ABC中,以边BC为直径的O与边AB交于点D,点E为 的中点,AF为ABC的角平分线,且 AFEC。 (1)求证:AC与O相
14、切; (2)若AC6,BC8,求EC的长 5.5.如图,RtABC,以AB为直径作O交AC于点D, ,过D作AE的垂线,F为垂足. (1)求证:DF为O的切线; (2)若DF=3,O的半径为 5,求的值.tanBAC F O E C D B A O F H E D C B A BD BD=DE O C F E D B A O F E DC B A O E D C BA EAO F D C B 6如图,AB为O的直径,C、D为O上的两点, ,过D作直线BC的垂线交直线AB于点E,F为垂足. (1)求证:EF为O的切线; (2)若AC=6,BD=5,求的值.sinE 7如图,AB为O的直径,半径O
15、CAB,D为AB延长线上一点,过D作O的切线,E为切点,连结CE交AB于点F. (1)求证:DE=DF; (2)连结AE,若OF=1,BF=3,求的值.tanA 8如图,RtABC中,C=90,BD平分ABC,以AB上一点O为圆心过B、D两点作O,O交AB于点一点 E,EFAC于点F. (1)求证:O与AC相切; (2)若EF=3,BC=4,求的值.tanA 9如图,等腰ABC中,AB=AC,以AB为直径作O交BC于点D,DEAC于E. (1)求证:DE为O的切线; (2)若BC=,AE=1,求的值. 4 5cosAEO 10如图,BD为O的直径,A为 的中点,AD交BC于点E,F为BC延长线上一点,且FD=FE. (1)求证:DF为O的切线; AD=DC BC F O E D C BA F M H O N E D C B A D A O F E C B (2)若AE=2,DE=4,BDF的面积为,求的值.8 3tanEDF 11、如图,AB是O的直径,M是线段OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交 EN于点F,且ECF=E (1)求证:CF是