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1、穿根法解不等式穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0 （或0 （或0 的解；而 x1左边的点都是小于 x1的点，即是 x-x10 （或0，处于(x1,x2)内的点满足 f(x) 0；而当点 x=a 从 x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，
2、而 x-x1符号不变，所以有 f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点 x=a 从 x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而 x-x2符号不变，所以 f(x)又一次变号，此时由负变正。总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。(2) x1=x2时，即形如 f(x)=(x-x1)2时显然，(-,x1)与( x1 ,+)都是 f(x) 0 的解。而若动态的考察此问题，则有点 x=a 从 x1右侧移动向左侧移动时，由于平方项内的 x-x1由正到 0 又到负，所以 f(x)经历了由正到 0 又回到正的过程。故而 f(x)在 x1两侧符号同正，只有在 x=x1处为 0。（三）高次不等式标准
3、形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)0 （或0；而当点 x=a 从 xn右侧移动到左侧时，x-xn符号变化，而其余任一 x-xi均不变号，所以有 f(x)由正变负；类似可得：对任一 i，当点 x=a 从 xi右侧移动到左侧时，x-xi符号变化，而其余每个 x-xj (ji)都不变号，所以有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，由于每过一个 xi都恰有一个因式 x-xi变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。(2) x1x2xn且有等号成立时其标准形式可写为f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn 0
4、 （或0，其中 f(x)为 x 的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：（1）整理原式化为标准型 把 f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2) m2(x-xn) mn 0（或0 解集，在序轴下方的曲线对应的区间为 f(x)0 或 f(x)/g(x)0 f(x)g(x)0 f(x)/g(x)120解：将原不等式变形：(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)-1200(x2-5x+4)(x2-5x+6)-1200(x2-5x)2+10(x2-5x)-960(x2-5x+16)(x2-5x-6)0(x2-5x+16)(x-6)( x+1)0x2-5x+16 恒大于
5、零，于是得与原不等式同解的不等式(x-6)( x+1)0对此也可用穿根法解决，如图所以，原不等式的解集是：(-,-1)(6,+)例 4 解不等式： (3x-5)/( x2+2x-3) 2解：原不等式 (3x-5-2x2-4x+6)/(x2+2x-3)0(2x2+4x-6-3x+5)/(x2+2x-3)0 (2x2+x-1)/(x2+2x-3)0 (x+1)(2x-1)/(x+3)(x-1)0 (x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)0 且 (x+3)(x-1)0 如图，用穿根法，注意区分实点和虚点，可得原不等式解集为：(-,-3)-1，1/2(1,+ )例 5 解关于 x 的不等式：(x-1)(x-t)1 时，如图用穿根法，可得原不等式解集为：(1,t)例 6 若 a1，解关于 x 的不等式 (x-a)/(x+1)(x-1)0解：1) a1 时，如图用穿根法，原不等式解集为：(-, -1)(1, a说明：解整式、分式不等式注意事项，可记以下口诀：移项调号，分解排序，奇穿偶回，分母非零，参数讨论，小心等号。习题：1、解不等式：（1）；（2）015223xxx0)2()5)(4(32xxx解下列分式不等式：2、解下列分式不等式：（1）； （2）22123 xx12731422 xxxx3、解不等式242xx4、解不等式04125622 xxxx5、 解不等式xxxxx222322
