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1、高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室1第五章第五章 定积分定积分教学目的：教学目的：1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿莱布尼茨公式。教学难点：教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。5 1 定积分概念与性质定积分概念与性质一、定积
2、分问题举例一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形 设函数 yf(x)在区间a b上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf (x)所围成高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室2的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间a b中任意插入若干个分点ax0 x1 x2 xn1 xn b 把a b分成 n 个小区间x0 x1
3、x1 x2 x2 x3 xn1 xn 它们的长度依次为x1 x1x0 x2 x2x1 xn xn xn1 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形 在每个小区间xi1 xi 上任取一点i 以xi1 xi 为底、f (i)为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形(i1 2 n) 把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即Af (1)x1 f (2)x2 f (n )xn niiixf 1)(求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲
4、边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记maxx1 x2 xn 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为 niiixfA 10)(lim 2 变速直线运动的路程变速直线运动的路程高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室3设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S 求近似路程 我们把时间间隔T 1 T 2分成 n 个小的时间间隔ti 在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度
5、近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度 v(i) 物体在时间间隔ti内 运动的距离近似为Si v(i)ti 把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n1 t nT 2 把T 1 T 2分成 n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n1 t n 各小段时间的长依次为t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S 2 S n 在时间间隔t i1 t i上任取一个时刻
6、 i (t i1 i t i) 以 i时刻的速度 v( i)来代替t i1 t i上各个时刻的速度 得到部分路程S i的近似值 即 S i v( i)t i (i1 2 n) 于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即 niiitvS 1)(求精确值 记 maxt 1 t 2 t n 当0 时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室4 niiitvS 10)(lim 设函数 yf(x)在区间a b上非负、连续 求直线 xa、xb、y0及曲线 yf (x)所围成的曲边梯形的面积 (
7、1)用分点 ax0x1x2 xn1xn b 把区间a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 记xixixi1 (i1 2 n)(2)任取ixi1 xi 以xi1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为(i1 2 n) 所求曲边梯形面积 A 的近似值为iixf)( niiixfA1)(3)记maxx1 x2 xn 所以曲边梯形面积的精确值为 niiixfA10)(lim 设物体作直线运动 已知速度 vv(t)是时间间隔T 1 T 2上 t 的连续函数 且 v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S (1)用分点 T1t0t1t2 t n1tnT2把时间间隔T
8、1 T 2分成 n 个小时间段 t0 t1 t1 t2 tn1 tn 记ti titi1 (i1 2 n)(2)任取iti1 ti 在时间段ti1 ti内物体所经过的路程可近似为 v(i)ti (i1 2 n) 所求路程 S 的近似值为高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室5 niiitvS1)(3)记maxt1 t2 tn 所求路程的精确值为 niiitvS10)(lim 二、定积分定义二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义 定义 设函数 f(x)在a b上有界 在a b中任意插入
9、若干个分点a x0 x1 x2 xn1 xnb 把区间a b分成 n 个小区间x0 x1 x1 x2 xn1 xn 各小段区间的长依次为x1x1x0 x2x2x1 xn xn xn1 在每个小区间xi1 xi上任取一个点 i (xi1 i xi) 作函数值 f ( i)与小区间长度xi的乘积f ( i)xi (i1 2 n) 并作出和 niiixfS 1)(高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室6记 maxx1 x2 xn 如果不论对a b怎样分法 也不论在小区间xi1 xi上点 i 怎样取法 只要当0 时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个
10、极限 I 为函数 f (x)在区间a b上的定积分 记作 badxxf)(即 niiibaxfdxxf 10)(lim)( 其中 f (x)叫做被积函数 f (x)dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b叫做积分区间 定义 设函数 f(x)在a b上有界 用分点 ax0x1x2 xn1xnb 把a b分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 xn1 xn 记xixixi1(i1 2 n)任 ixi1 xi (i1 2 n) 作和 niiixfS1)(记maxx1 x2 xn 如果当0 时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和 i的取法无关
11、 则称这个极限为函数 f(x)在区间a b上的定积分 记作 badxxf)(即 niiibaxfdxxf10)(lim)( 根据定积分的定义 曲边梯形的面积为 badxxfA)(变速直线运动的路程为 dttvSTT)(21说明 高等数学教案 第五章 定积分天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室7(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 bababaduufdttfdxxf)()()(2)和通常称为 f (x)的积分和 niiixf 1)(3)如果函数 f (x)在a b上的定积分存在 我们就说 f (x)在区间a b上可积 函数 f(x)在a b上满足什么条件时 f (x)在a b上可积呢？定理定理 1 设 f (x)在区间a b上连续 则 f (x) 在a b上可积 定理定理 2 设 f (x)在区间a b上有界 且只有有限个间断点 则 f (x) 在a b上可积 定积分的几何意义 在区间a b上 当 f(x)0 时 积分在几何上表示由曲线 yf (x)、两条直线badxxf)(xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 当 f(x)0 时 由曲线 y f (x)、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形
