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1、33第第 3 3 章章 （之（之 1 1） 第第 1313 次作业次作业教学内容教学内容：3.1 微分*1. 求，设 dyxxxxyx),40(2tan)(cos)(sin解: dyy x dx( ).dxxxxxxxx2sec2tansin)ln(coscos)(cos2sin *2. 设 求y xeedyxx( )ln()241 解:.du udududydyeux22 11, 则 令 dx eexx4212 *3. 设 且处处可微 求 ( ),( ),ln ( ) ( )xxdx x0解: ， )()(ln xxu记则duuxxd)()()(ln dxxxxxu)()(ln)()()(2
2、.dxxxxxx )()(ln)(ln1)()(2*4. 的微分所确定隐函数求由方程dyxyyaaxyyx)(,)0(0333解: 由, 得 0333axyyx0)dd(3d3d322yxxyayyxx.xaxyxayydd22*5. .)(0)cos(sindyxyyyxxy的微分所确定隐函数求由方程解: 0)()sin(cossindydxyxxdxyxdy由 .得 dyyxxy xxydx cossin() sinsin()*6. .263的近似值用微分方法计算解:127)()()()(0003xxxxfxfxfxxf，令 34.959. 22713263*7151cos,0的值计算用微
3、分代替增量解: ,f xxxx( )cos，0001505 61180.8747. 036023 180)150(sin150cos)151(000f*8.cmcmcm005. 02 . 55一层厚的空心铁球的表面上镀外半径为在一个内半径为量。个金球中含铁和金的质，试用微分法分别求这，金的密度为已知铁的密度为的金33g/cm9 .18g/cm86. 7,解: ，86. 72 . 05341113rrrV，)(6 .4932086. 7486. 712 11grrm，9 .18005. 02 . 5222rr.)( 1 .32005. 0)2 . 5(49 .182 2gm*9. ，要使周期，摆
4、长，其中单摆振动周期cm8 . 9cm/s98022lgglT?,01. 0摆长需增长多少增大s解: l gldTT.)(31. 001. 014. 398cmTgll *10.设扇形的圆心角，半径，如果保持不变，减少60cmR100R，问扇形面积约改变多少？如果不变，增加，问扇形面积03 60Rcm1 约改变多少？解：扇形面积公式为，2 21RS（1）视为变量，则。63.43)360(21)dd(2RSS（2）视为变量，则.R7 .10411003ddRRRRSS*11.测得一个角大小为，若已知其相对误差为，问由此计算这个角的正弦函数值所45%3 产生的绝对误差和相对误差各是多少？ 解：设角
5、度为，于是，由微分近似计算，有xxysin35（1）；01666. 0%3422%3445coscos xxxyy（2）.%356. 2sin xxy yy第第 3 3 章章 （之（之 2 2） 第第 1414 次作业次作业教学内容教学内容：3.2 微分中值定理*1. .arcsin)( 1 , 1的值时应用拉格朗日中值定理内对函数试求在xxf解：在上连续 在内可导f xx( )arcsin, ,(, )1111即在满足拉格朗日中值定理的条件f x( ), 11又 fx x( )112令 fff( )( )() () 1111 1122得到内的解(, ) 11142,使即存在12221414
6、,.)2 , 1() 1(1) 1() 1 ()(ifffi，*2. 成立内使则在设)()()(,1)(, 0,abfafbfbxaxxfabba（ ）的点的具体数值有关与是否存在 不存在有两点 只有一点 baDCBA,)(,)()()(答 ( )C*3.设（其中），不用求，说明方程 dxcxbxaxxfdcba xf 有几个实根，指出它们所在的区间。 0 xf解：显然，在三个闭区间上连续，且在内可导，又因 xfdccbba,dccbba,为有，由罗尔中值定理，至少存在三点 0dfcfbfaf，dccbba,321使得. 0321fff36又是一个实系数一元三次多项式函数，所以方程在实数范围内
7、最多只有 xf 0 xf三个根，亦即。它们的所在区间为 .321,dccbba,321*4.若已知方程有一个正根，证明方程011 1 xaxaxan nn n0x 0112 11 axanxnan nn n至少有一个小于的正根.0x证：考虑闭区间，显然函数在上连续，在0, 0 x xaxaxaxFn nn n11 1 0, 0 x内可导，且有。所以由罗尔中值定理值必存在一个，使得0, 0 x 00xFF0, 0 x. 0F*5.设在上连续，在内可导，试证：存在，使 xf 2,2 2,22,2. sincosff证：令，显然在上连续，在内可导，且 xxfxgcos xg 2,2 2,2。由罗尔中
8、值定理知，存在，使得，即022gg2,2 0g. 0sincosff*6.证明下列不等式：.baab ab ba0, 1ln1证：令，显然在上连续,在内可导，故由拉格朗日定理，知必存 xxfln xfba,ba,在一个，使得 ba, 1fabafbf *由式，显然有 ， 即 * aabafbf b111， 亦即 ，证毕. aab abafbfaabln1ln1ab ab ba*7.设在上可微，且。试证明：在上恒成立 xf1 , 1 Mxff , 001 , 1（其中是常数）。 Mxf0M证： 对任意的，显然在由与构成的闭区间或上满足拉1 , 1x)0( x xf0x0 ,x, 0x格朗日条件,
9、所以，在与之间必存在一个，使得0x, )0()0()(xffxf *由已知，及，代入式，即得 ； Mxf1x * Mfxfxf037而当时，0xMf 0)0(于是可得对任意的，都有 .1 , 1x Mxf*8. 使证明存在上可导在设),(,)(babaxf，)()(3)()(1233 ffbfafab ab 其中.)()(33bfa afb)()(33afabfb中值定理，上可导，利用拉格朗日在，则证明：令,)()()(3baxFxfxxF )()()(),(abFaFbFba，使则至少存在，)()(3)()(3233abffafabfb即.)()(3)()(1233 ffbfafab ab
10、即*9. 若，计算极限. axf x lim xfxf x 100lim解：依题意，函数在闭区间上必连续，在内必可导，故符合)(xf100,xx100,xxLagrange 中值定理的条件。所以，使)100,(xx，)100)( lim)()100(limxxfxfxf xx 其中 ，当时，有 ，100xxx.af100100)( lim 上式*10.设在上具有 1 阶连续导数，在内存在，且。 xfba, xf ba, 0bfaf又存在常数，使。试证，至少存在一点，使.bac, 0cfba, 0 f证：依题意，在及上均满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在 xfca,bc,，使得。又在bcca,
11、21 0, 021cbcfbffacafcff xf上具有一阶连续导数，且在内可导，所以，在上必满足拉格朗ba, xf ba, xf 21,日中值定理的条件。所以，存在，使得. ba,21 01212 fff*选做题选做题. ，证明内在且上可导在设函数1)(), 1 (, 1)(0, 1 )(xf xexfexf. xxfxeln)(, 1使内有且仅有一个在38证明 令:( )( )lnF xf xx ( )( ) , ,( ),( )( )( , ),( )( )ln( )( , ),( )ln,()()( ),(,)( )110110102110012121212则在上连续 可导 由则利用
12、闭区间上连续函数的零值定理得至少存在使即再证在内最多存在一个使反证 设存在使则在上满足罗尔定理的条件则至少存在使F xef xFF eeFfefxxeF xF xF xx xcx xF c即即这与在内矛盾故在内最多只有一个 使fcccfcexfxef( ),( ),( , )( )!( , )( )ln .11111结合得 在内有且仅有一个使( ),( , ),( )ln .11 exf xx第第 3 3 章章 （之（之 3 3）第第 1515 次作业次作业教学内容教学内容: : 3.3.1 型 3.3.2 型00 1. 填空题*（1）若，则.0ppxpxxxxcossin1cossin1lim 0_解：.p1*（2）._)e1ln()e1ln(lim11 xxx解：。2e2. 选择题。*（1）若是待定型，则“”是“”的（ B ）)()(lim0xgxfxx00Axgxfxx)()(lim0Axgxfxx )()(lim0（A）充要条件； (B)充分条件，非必要条件；（C）必
