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1、专题达标检测 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.方程 在x-1,1上有实根，则m 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 解析 又当 时，m最小为,D,2.若全集U=（0,+），集合A=x|logx 1时，由 得 所以x1，所以 所以 UA=,D,3.已知函数f（x）=3-2|x|，g（x）=x2-2x，构造函数 F（x），定义如下：当f（x）g（x）时，F（x） =g（x）；当f（x）g（x）时，F（x）=f（x）.那 么F（x） （ ）A.有最大值3，最小值-1 B.有最大值 无最小值 C.有最大值3，无最小值 D.无最大值，也无最小值 解析 画图得到F(x)的图
2、象：为射线AC、抛物线 弧AB及射线BD三段，联立方程组,代入得F(x)最大值为 由图可得F（x）无最 小值，从而选B. 答案 B,4. 若关于x的不等式（1+k2）xk4+4的解集是M，则 对任意实常数k，总有 （ ） A.2M，0M B.2 M，0M C.2M，0 M D.2M，0M 解析,2M,0M.,A,5.（2009广东理，8）已知甲、乙两车由同一起点 同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶， 甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所 示）.那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定 正确的是 ( ) A.在t1时刻，甲车在乙车前面 B.t1时刻后，甲车在乙车后面 C.在t0
3、时刻，两车的位置相同 D.t0时刻后，乙车在甲车前面,解析 由图象及定积分知识可知，速度图象与x轴 围成的面积表示汽车行驶的位移，在t0时刻，甲 车的位移大于乙车的位移，故在t0时刻甲车应 在乙车的前面，且t0时刻两车速度相同，故C、 D不对，t1时刻甲车的位移大于乙车的位移，故A对. 6.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至 少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是( )A.（0，1） B.（0，1 C.（-,1） D.(-,1,答案 A,D,7.过抛物线y2=4ax (a0)的焦点F作相互垂直的两条 弦AB和CD，则|AB|+|CD|的最小值为 （ ） A.16a
4、 B. C.8a D.7a 解析 F（a，0），设AB的斜率为k. k2x2-(2ak2+4a)x+a2k2=0.,同理|CD|=4ak2+2a+2a.,A,8.实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另 一个根大于1且小于2，则|a-2b-3|的取值范围是 （ ）A.（4，6） B.（4，7） C.（4，8） D.（4，9） 解析 根据函数零点的存在定理,设f(x)=x2+ax+2b, 则,此时，问题转化为线,性规划问题.,如图，易得满足此不等式组的点 （a,b）在ABC的内部，其中A（-3， 1）, C（-1，0），B（-2，0），而 |a-2b-3| 由于 表示点（a,b）
5、到直线l:a-2b-3=0的距离，由图象 可知A点、C点到l的距离分别为最远和最近，即,得4|a-2b-3|8，,故|a-2b-3|的取值范围为（4,8）.,答案 C,9.在各项都是正数的等比数列an中，首项a1=2,前 三项和为14，则a4+a5+a6的值为 （ ）A.52 B.56 C.112 D.378 解析 设公比为q(q0)，由a1=2,a1+a2+a3=14，得 2(1+q+q2)=14，解得q=2，所以a4+a5+a6=112.,C,10.命题甲： 成等比数列，命题乙：lg x， lg（x+1），lg（x+3）成等差数列，则甲是乙的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
6、C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 本题考查数列的性质以及充分必要条件的 概念.若甲成等比数列，有 解之得x=1或x=-2,满足条件的x的集 合为-2,1,若乙成等差数列有2lg(x+1)=lgx+ lg（x+3），且x0 （x+1）2=x（x+3），得 x=1，则满足乙的x的集合为1，因1，-2 1，所以甲是乙的必要不充分条件.,B,11.设函数f(x)=x3+sin x,若 时,f(mcos +f(1-m)0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.（0，1） B.（-,0） C.(-,1) D. 解析 易知f(x)为奇函数、增函数,f(mcos )+f(1- m)0，即f(mcos
7、 )f(m-1), mcos m-1，而 时，cos0,1,C,12.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两 个x1、x2(x1x2)均有|f(x1)-f(x2)|k|x1-x2|成 立，则称函数f(x)在定义域上满足利普希茨条件. 若函数f(x)= (x1)满足利普希茨条件，则常数 k的最小值为 （ ） A. B. C.1 D.2 解析,因,所以,B,二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.对任意实数x、y，规定运算xy=ax+by+cxy,其中 a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法 和乘法运算，已知12=3，23=4，并且有一个 非零常数m，使得对任意实数x,
8、都有xm=x，则 m= . 解析 依题意，xm=ax+bm+cxm=x对任意实数x恒 成立， 令x=0，则mb=0,由m是非零常数得b=0. 故xy=ax+cxy. 由已知得 解得a=5,c=-1. 故5x-mx=x对任意实数x恒成立，则m=4.,4,14.若不等式x2+px4x+p-3对一切0p4均成立，则 实数x的取值范围为 . 解析 x2+px4x+p-3, (x-1)p+x2-4x+30. 令g(p)=(x-1)p+x2-4x+3，则要使它对0p4均有 g(p)0，只要有 x3或x-1.,x3或x-1,15.定义运算符号“”，这个符号表示若干个数相 乘，例如：可将123n记作 (nN*
9、）. 记 其中ai为数列an（nN*）中的第i项. （1）若an=2n-1，则T4= . （2）若Tn=n2（nN*），则an=,105,.,16.若方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)只有一个根，则 a的取值范围是 解析 原方程等价于 ,.,构造函数y=-x2+5x-3(1x3)和y=a，作出它们的图 象,易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况为:当1a3或 时，原方程有一解； 当 时，原方程有两解； 当a1或 时，原方程无解. 因此，a的取值范围是1a3或,答案 1a3或,三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（12分）求函数f(x)=2-4asin x-cos 2x
10、的最大值 和最小值. 解 y=f(x)=2-4asin x-(1-2sin2x) =2sin2x-4asin x+1 =2(sin x-a)2+1-2a2. 设sin x=t,则-1t1, 并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2. 当a-1时，如图. 有y最大=g(1)=3-4a, y最小=g(-1)=3+4a; 当-1a1时，,有y最小=g(a)=1-2a2, y最大为g(-1)和g(1)中的较大者， 即y最大=3-4a(-1a0), 或y最大=3+4a(0a1). 当a1时，有y最大=g(-1) =3+4a,y最小=g(1)=3-4a. 18.（12分）已知向量 且 (1)求ab及|
11、a+b|; （2）若f(x)=ab-2 a+b的最小值是 , 求 的值.,解 （1）,cos x0,|a+b|=2cos x.,（2）f(x)=cos 2x-4cos x,即f(x)=2(cos x- )2- 1-2 2.,0cos x1.,当 1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值 1-4 ,由已知得1-4 = 解得 这与 1相矛盾. 综上所述， 为所求.,19.（12分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件： 0,1是函数f(x)的两个零点;f(x)的最小值为 （1）求函数f（x）的解析式； （2）设数列an的前n项积为Tn，且Tn=f（n） （ 0,nN*），求数列
12、an的前n项和Sn. 解 （1）由题意知,解得,故,(2) 当n2时，Tn-1=a1a2an-1= 又a1=T1=1满足上式， an=n-1(nN*). 当 =1时，Sn=n， 当 1且 0时，数列an是等比数列， 故数列an的前n项和,20.(12分)已知函数f(x)在(-1,1)上有意义, 且任意的x、y（-1，1）都有f（x）+f（y）= (1)若数列xn满足 (nN*）， 求f（xn）； (2)求 的值. 解 （1）,f(xn)是以-1为首项，以2为公比 的等比数列， 故f（xn）=-2n-1. （2）由题设，有f(0)+f(0)= 故f(0)=0. 又x(-1,1)有f(x)+f(-
13、x)= 得f(-x)=-f(x),故知f(x)在（-1，1）上为奇函数.,=f(xn)+f(xn)=2f(xn),21.（12分）已知二次函数f(x)=ax2+bx (a,b为常 数，且a0)满足条件：f(-x+5)=f(x-3),且方程 f(x)=x有等根. （1）求f(x)的解析式； （2）是否存在实数m,n（mn）,使f(x)的定义域和 值域分别为m,n和3m,3n，如果存在，求 出m,n的值；如果不存在，说明理由. 解 （1）依题意ax2+bx=x,即ax2+(b-1)x=0有等 根，故=（b-1）2=0. b=1, 由f(-x+5)=f(x-3),故f(x)的图象关于直线x=1对 称
14、，,（2） 而抛物线 的对称 轴方程为x=1, 时，f(x)在m,n上为增 函数. 设存在m,n则,即 由知m=0或m=-4，由知n=0或n=-4, 又 取m=-4,n=0.即存在实数m=-4,n=0, 使f(x)的定义域为-4，0，值域为-12，0., ,22.（14分）已知a是实数，函数 （1）求函数f（x）的单调区间； （2）设g(a)为f（x）在区间0，2上的最小值. 写出g(a)的表达式； 求a的取值范围，使得-6g(a)-2. 解 （1）函数的定义域为0，+）， 若a0，则f(x)0, f(x)有单调递增区间0，+).,若a0，令f(x)=0,得 当 时，f(x)0. 故f(x)有单调递减区间 单调递增区间 综上所述，当a0时,f(x)的单调增区间为0， +). 当a0时,f(x)的单调增区间为 单调减区间为,（2）若a0,f(x)在0，2上单调递增， 所以g(a)=f(0)=0. 若0a6,f(x)在 上单调递减，在 上单调 递增， 所以 若a6,f(x)在0，2上单调递减， 所以g(a)=f(2)=,综上所述，g(a)= 令-6g(a)-2. 若a0，无解； 若0a6，解得3a6； 若a6，解得 故a的取值范围为,
