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1、几何变换,几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。,变换思想是一种重要的数学思想.应用变换思想探索解题途经,寻求解题方法,是数学解题的指导思想和策略原则之一.几何变换的思想和方法,就是用运动和变化的观点去观察和研究几何对象及其相互关系,探讨图形运动过程中哪些量和关系不变化,哪些量和关系变化,从中知道找到其规律性.,利用几何变换解题时,一般不需要对整个图形进行变换,而只需对图形中有关部分进行变换,将其余部分保持不变,从而使整个图形改组,化不规则图形为规则图形,化一般为特殊,化隐蔽关系为明显关系,通过变换将不利条件转化为有利条件
2、,让有利条件保持不变,这就是利用几何变换解题的基本途径.,几何变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质几何变换包含反射、平移、旋转和相似变换，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。,几何变换在解题中的应用,一、利用反射变换解题,二、利用平移变换解题,三、利用旋转变换解题,四、利用相似变换解题,五、几种几何变换的综合应用,数学离不开解题，数学能力的培养主要是通过解题来完成，几何变换中的平移、反射、旋转、相
3、似在解题中的运用, 有利于开阔学生解题思路，沟通了题设与结论之间的联系，正是这种变换使命题的解决能畅通无阻，从而培养学生的创新意识与创新能力。,反射变换是将平面上的点作一一变换，如果联结每对对应点的线段都被一条定直线 所垂直平分，则称这种变换为关于直线 的轴反射变换或轴对称变换，定直线 称为对称轴,反射变换有如下性质： (1)把图形变为与之全等的图形； (2)关于 对称的两点连线被 垂直平分,一、利用反射变换解题,直线、射线、线段和点是对称图形吗 ？,狭义概念中，所谓对称是指某图形相对于固定的某一点、某一线或某一平面，对折后可以完全重合，即互为镜像，从这个意义上说，直线、射线不具有固定的对称中
4、心，点是图形的基本元素，三者都不是对称图形。 广义的概念中，直线、射线、线段和点却是对称图形。一种观点认为，任何图形上的所有点都可以类聚起来，最终类聚为一点（原始点），也即：“不管图形怎样变化，都是原始点自身”，有对称点（原始点），可以完全重合（均为原始点镜像），你能说直线和点不是对称图形吗？其中，最著名的就是“宇宙大爆炸理论”，该理论认为“宇宙起源于某一点，由这一点爆炸形成宇宙，宇宙至今还在膨胀。”,直线、射线、线段和点各有几条对称轴 ？,1、线段的对称轴有2条：一条是它的垂直平分 线，另一条是它本身所在的直线； 2、 射线的对称轴只有1条：它本身所在的直； 3、直线的对称轴有无数条：它本身
5、以及所有与它垂直的直线（同一平面内）； 4、点的对称轴有无数条：经过它的任何直线。,1、如果问题所给图形是轴对称图形,则可添作对称轴,常根据下面的一些特殊情况作反射变换：(1)与线段中点有关的问题，常取该线段的垂直平分线为对称轴作变换；(2)与角平分线有关的问题，常取角平分线所在的直线为对称轴作变换；(3)与等腰三角形有关的问题，常取底边的中垂线为对称轴作变换；(4)与正三角形或正方形有关的问题，常利用正三角形或正方形的特性作对称变换；(5)与圆有关的问题，常取某直径所在直线为对称轴作变换,D,2、如果问题中图形的某一部分关于一条直线 对称,或是具有造成轴对称性的因素,则可尝试对这一部分作关于
6、 的轴反射变换.,M,E,F,D,平移变换是将平面上的点作一一变换，如果联结每对对应点的线段都平行且相等，则称这种变换为平移变换.平移变换把一个图形变到与其真正相等的图形。,二、利用平移变换解题,在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线在解几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形当问题中有一组平行线,或一组直线段,通过平移变换,常可达到应用平行线等分线段定理或应用平行四边形性质解决问题的目的.,E,D,F,H,K,G,旋转变换是将平面上的点作一一变换，如果任一对对应点P， P都与平面上一个定点O的距离相等，且POP等于定
7、角，则称这种变换为关于点O的旋转，定点O称为旋转中心，定角称为旋转角。旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形,三、利用旋转变换解题,在应用旋转变换解几何题时，注意下面一些特殊情形：,(1)与等腰三角形有关的问题，常取顶点为旋转中心，顶角作旋转角；对正三角形常取顶点为旋转中心， 作旋转角；,(2)当问题中涉及正方形或有垂直关系时,常选正方形顶点或中心作旋转中心, 作旋转角施行旋转变换,P,相似变换 是将平面上的点作一一变换，如果对应线段AB与AB的比是一个常数k, 即AB：AB k，则这种变换叫相似
8、变换。当k0时，A与其对应点A在位似中心S的同侧；当k0时，A与A在点S的两侧。当k1时，原图形被放大；当k1时，原图形被缩小。 特别地，当k1时，即为以S为中心，旋转角为的旋转变换。,四、利用相似变换解题,在应用相似变换解几何题时，注意下面一些特殊情形：,当问题涉及线段的乘积式、比例式，或线段的平行、共线关系时，可试将这些线段分别变换到某二个相似或位似形的对应位置上，从而使已知和未知数量关系明朗化。,D,a,F,G,E,例20 如图所示，设E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上的点,且 ，过A作AG EF于G，求证AG=AB。,五、几种几何变换的综合应用,可见 ，对于解决一类直接推理而较
9、难入手的几何题 。我们只要合理借助平移、旋转、对称、相似等几何变换的基本技巧，将几何图形从原位置运动到新位置保持“不变性”，即可化繁为简，变难为易，汇聚条件进而迅速寻找到解题思路，真正起到立杆见影的效果 。,运用几何变换的理论和方法讨论欧氏几何是用现代数学的思想方法处理综合几何的一种重要途径。一个图形，可以看作是一个点集，讨论图形的位置关系或数量关系，可以用变换的观点讨论在某种变换下的特殊规律。用几何变换（或渗透几何变换的思想方法）处理中学几何，这是当前改革中学几何教学的基本思路之一。,2.已知E是ABC外角CAF平分线上的一点求证：BEECABAC,作业：学习数学方法论的体会和收获 （要求：
10、手写,字数在1000字以上 ，下次课上交。）,证明 如图，以ABC的外角平分线AE为对称轴，则点C的对称点F必在射线BA上连接EF，,2.已知E是ABC外角CAF平分线上的一点求证：BEECABAC,E,F,ACEAFE ACAF，CEEF 又BE+EFBF， BE+ECAB+AC,由对称性质定理知,解（略）PC=5,思路分析：所求的线段PC与已知线段PA、PB不构成一个三角形，条件分散，不容易求得PC的长度，由于ABC是等边三角形，具备了旋转角为 的图形旋转条件，因此，可将APB以点B为旋转中心作顺时针 的旋转。,思路分析： 在题中没有具体线段的边长，只有三条线段的长度关系，条件分散，怎么办？但如果将线段DF移到与BE一直线上，条件相对较为集中。,
