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1、第 5 章 概率与概率分布,PowerPoint,第 5 章 概率与概率分布,5.1 随机事件及其概率 5.2 概率的性质与运算法则 5.3 离散型随机变量及其分布 5.4 连续型随机变量及其分布,学习目标,定义试验、结果、事件、样本空间、概率 描述和使用概率的运算法则 定义和解释随机变量及其分布 计算随机变量的数学期望和方差 计算离散型随机变量的概率和概率分布 计算连续型随机变量的概率 用正态分布近似二项分布 用Excel计算分布的概率,5.1 随机事件及其概率,随机事件的几个基本概念 事件的概率 概率计算的几个例子,随机事件的几个基本概念,试 验 (experiment),在相同条件下，对
2、事物或现象所进行的观察 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 试验的特点 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果,事件的概念,事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3 随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 不可能事件(impossible event)：每次试验一定
3、不出现的事件，用表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6,事件与样本空间,基本事件(elementary event) 一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数 样本空间(eample Space) 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，1,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面,事件的关系和运算 (事件的包含), 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或 A B或 B A,事件的关系和运算 (事件的并或和), 事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B 的并。它是由属于事件A或事件B的所有的
4、样本点组成的集合，记为AB或A+B,事件的关系和运算 (事件的交或积), 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为BA 或AB,事件的关系和运算 (互斥事件), 事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生， 则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点,事件的关系和运算 (事件的逆), 一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合，记为A,事件的关
5、系和运算 (事件的差), 事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合，记为A-B,事件的关系和运算 (事件的性质), 设A、B、C为三个事件，则有 交换律：AB=BA AB=BA 结合律：A(BC)=(AB)C A(BC) =(AB) C 分配律：A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC),4、反演律： A B=A B AB =A+B,事件的概率,事件的概率 (probability),事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：
6、古典定义、统计定义和主观概率定义,事件的概率,例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右,5.2 概率的性质与运算法则,概率的性质 概率的加法法则 条件概率与独立事件,概率的古典定义, 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为,概率的古典定义 (例题分析),【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：（1）该职工为男性的概率（2）该职工为炼钢厂职工的概率,概率的古典定义
7、 (例题分析),解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则,(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则,概率的统计定义, 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，趋向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为,概率的统计定义 (例题分析),【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标
8、，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有,主观概率定义,对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定 概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 例如，我认为2009年的中国股市是一个盘整年,概率的性质与运算法则,概率的性质,非负性 对任意事件A，有 0 P 1 规范性 必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P ( ) = 1； P ( ) = 0 可加性 若A与B互斥，则P ( AB )
9、= P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件A1，A2，An，有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),概率的加法法则 (additive rule), 法则一 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 事件A1，A2，An两两互斥，则有P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),概率的加法法则 (例题分析),【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的
10、概率解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B 的和，其发生的概率为,概率的加法法则 (additive rule), 法则二对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),概率的加法法则 (例题分析),【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解：设A读甲报纸，B读乙报纸，C至少读一种报纸。则P (
11、 C ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB )=0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28,条件概率与独立事件,条件概率 (conditional probability), 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为,条件概率的图示,A+B：事件A、事件B至少有一个发生 AB：事件A、事件B同时发生 A-B：事件A发生，且事件B不发生 P（A-B）=P（A）-P（AB）,概率的乘法公式 (multiplicative rule),用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设A、B
12、为两个事件，若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A),概率的乘法公式 (例题分析),【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2),事件的独立性 (independence),一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立 若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)， P(A|B)=P(A) 此时概率的乘法公式可简化为P(AB)=P(B)P(B) 推广到n个独立事件，有P(A1 A2 An)
13、=P(A1)P(A2) P(An),事件的独立性 (例题分析),【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612(2) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)= 0.
14、90.8(1-0.85)=0.108,全概公式, 设事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An=（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则对任意事件B，有,我们把事件A1，A2，An 看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B 能且只能在原有A1，A2，An 之一发生的条件下发生，求事件B 的概率就是上面的全概公式,全概公式 (例题分析),【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。解：设 A1表示“产品
15、来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据全概公式有,贝叶斯公式 (逆概公式),与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因 设n个事件A1，A2，An 两两互斥， A1+A2+ An= (满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则,贝叶斯公式 (例题分析),【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是
16、甲、乙、丙生产的概率解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：,5.3 离散型随机变量及其分布,随机变量的概念 离散型随机变量的概率分布 条件概率与独立事件,随机变量的概念,随机变量 (random variables),一次试验的结果的数值性描述 一般用 X、Y、Z 来表示 例如: 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量 (discrete random variables),随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 X1 , X2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,
