流体力学第4章9

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1、2018/10/2,1,2018/10/2,2,一、拉格朗日法 定义：是以流场中每一流体质点作为描述对象的方法。质点法,随体法,第一节 流体运动的描述方法,空间坐标,（a,b,c）为t=t0时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日变量。,2018/10/2,3,将式对时间求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度和加速度为：,2018/10/2,4,二、欧拉法 1、概念及表示方法 定义：以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。流场法 ，局部法,速度,（x,y,z,t）是欧拉变量,2018/10/2,5,x，y，z有双重意义： （1）它代表流场的空间坐标。 （2）它代

2、表流体质点在空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也是时间t的函数： x= x (t) y= y (t) z= z (t) 它也是流体质点的运动轨迹方程,2018/10/2,6,将上式对时间求导就可得流体质点沿运动轨迹的三个速度分量 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别将三个速度分量对时间取全导数，即可得流体质点在某一时刻经过某

3、空间点时的三个加速度分量,2018/10/2,7,用矢量 表示加速度，即 。根据矢量分析的点积公式 式中 是矢量微分算子。,2018/10/2,8,加速度组成 当地加速度：某一固定点上流体质点的速度变化率。 迁移加速度：某一瞬时流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。 总加速度：当地加速度和迁移加速度之和。,2018/10/2,9,中间有收缩形的变截面管道内的流动,2018/10/2,10,流体质点和空间点是两个截然不同的概念，空间点指固定在流场中的一些点，流体质点不断流过空间点，空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。 用欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用下式的

4、形式，即 式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强，可以是标量，也可以是矢量。 称为全导数， 称为当地导数， 称为迁移导数。,2018/10/2,11,欧拉法描述流体的流动的优越性： 一是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。 二是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。 三是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中还是方

5、便的。,2018/10/2,12,第二节 流体运动的一些基本概念,一、流动的分类 （1）按照流体性质分为理想流体的流动和粘性流体的流动，不可压缩流体的流动和可压缩流体的流动。 （2）按照运动状态分为定常流动和非定常流动，有旋流动和无旋流动，层流流动和紊流流动，亚声速流动和超声速流动 （3）按照流动空间的坐标变量数目分为一维流动，二维流动和三维流动,2018/10/2,13,一、定常流动和非定常流动 定常流动：流体的流动参数不随时间而变化的流动。 非定常流动，流体的流动参数随时间而变化的流动。,流体的出流,2018/10/2,14,定常流动的流场中，流体质点的速度、压强和密度等流动参数仅是空间点

6、坐标x、y、z的函数，而与时间t无关，用表示任一流动参数（即可表示u，v，w，p，等），则 = (x，y，z),2018/10/2,15,由于是定常流动，故其流动参数对时间的偏导数等于零，即 因此，定常流动时流体加速度可简化成 由式可知，在定常流动中只有迁移加速度。例如图中，当水箱的水位保持不变时，2点到3点流体质点的速度减小，而4点到5点速度增加，都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为均匀流动，例如流体质点在等截面管道中的流动(3点到4点)。,2018/10/2,16,二、一维、二维和三维流动 三维流动：流动参数是x、y、z三个坐标的函数的流动。 二维流动：流动参数是x、

7、y两个坐标的函数的流动。 一维流动：是一个坐标的函数的流动。,2018/10/2,17,管内流动速度分布,2018/10/2,18,绕无限翼展的流动,2018/10/2,19,绕有限翼展的流动,2018/10/2,20,三、迹线与流线 迹线是流体质点的运动轨迹。迹线是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。 迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线，其数学表达式为： 迹线微分方程,2018/10/2,21,流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线上的各流体质点的速度方向都与该曲线相切。,流线可以形象地给出

8、流场的流动状态。通过流线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。 流线的引入是欧拉法的研究特点。,2018/10/2,22,1、流线的基本特性 (1)在定常流动时，通过同一点的流线形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变化，故流线和迹线不相重合。 (2)通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流动方向的问题。 (3)流线不能突然折转

9、，是一条光滑的连续曲线。 (4)流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。,2018/10/2,23,2、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量 ，通过该点流线上的微元线段 。由流线的定义知，空间点上流体质点的速度与流线相切。即 上式又可写成dx/u(x,y,z,t)=dy/v(x,y,z,t)=dz/w(x,y,z,t) 流线的微分方程,2018/10/2,24,四、流管、流束、总流 流管：在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表面，称为流管。因为流管是由流线构成的，所以它具有流

10、线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。 流束：流管内部的流体。当流束的横截面积趋近于零时，则流束达到它的极限流线。,2018/10/2,25,有效截面：在流束中与各流线相垂直的横截面。流线相互平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面。 微元流束和微元流管：有效截面面积为无限小的流束和流管。在每一个微元流束的有效截面上，各点的速度可认为是相同的。 总流：无数微元流束的总和。,2018/10/2,26,缓（渐）变流：流线之间的夹角很小，流线曲率半径很大的近乎平行直线的流动。缓（渐）变流的有效截面可看作平面，但是缓（

11、渐）变流各个过水断面的形状和大小是沿程逐渐改变的，各个过水断面上的流速分布图形也是沿程逐渐改变的。 急变流：不符合上述条件的流动。,2018/10/2,27,急变流,缓变流,缓变流,缓变流,缓变流,缓变流,急变流,急变流,急变流,急变流,缓变流和急变流,2018/10/2,28,五、流量和平均流速 流量：单位时间流经某一规定表面的流体量。 体积流量：单位时间内通过有效截面的流体体积，以qv表示。其单位为m3/s、m3/h等。 质量流量：单位时间内通过有效截面的流体质量,以qm表示，其单位为kg/s、t/h等。 由于微元流束有效截面上各点的流速V是相等的，所以通过微元流束有效截面的体积流量dqv

12、和质量流量dqm分别为： dqv=VdA dqm=VdA,2018/10/2,29,通过流管中有效截面面积为A的流体体积流量和质量流量分别积分求得，即 在工程计算中为了方便起见，引入平均流速的概念。平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。,2018/10/2,30,六 湿周 水力半径 在总流的有效截面上，流体与固体边界接触的长度称为湿周，用符号表示。 总流的有效截面面积与湿周之比称为水力半径，用符号Rh表示，即,2018/10/2,31,七、系统 控制体 输运公式,1、系统：包含确定不变

13、的物质的任何集合。系统以外的一切称为外界。 边界的性质： 边界随流体一起运动； 边界面的形状和大小可随时间变化； 系统是封闭的，没有质量交换，可以有能量交换； 边界上受到外界作用在系统上的表面力；,2018/10/2,32,2、控制体：被流体所流过的，相对于某个坐标系来讲，固定不变的任何体积。 控制面的性质： 总是封闭表面； 相对于坐标系是固定的； 在控制面上可以有质量、能量交换； 在控制面上受到控制体以外物体加在控制体内物体上的力；,2018/10/2,33,3 输运公式,为了将物理学定律和定理用于流体力学，必须建立系统的物理量随时间的变化率与控制体内这种物理量随时间的变化率和经过控制面的净

14、通量之间的关系。,2018/10/2,34,流场中的系统与控制体 流体系统内物理量对时间的输运公式：,2018/10/2,35,输运公式物理意义：,流体系统某种物理量的时间变化率等于控制体内这种物理量的时间变化率加上这种物理量单位时间经过控制面的净通量。 也即：流体系统某种物理量的随体导数由 （1）当地导数：等于控制体内这种物理量的时间变化 （2）迁移导数：等于经过控制面单位时间流出和流进的这种物理量的差值。,2018/10/2,36,定常流动时，输运公式为 意义：在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有关。,2018/10/2,37,第三节 连续方

15、程,连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。 研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学方程表示，称为连续性方程。,2018/10/2,38,连续方程的推导 由于流体系统的总质量不会随时间变化， 积分形式的连续方程 意义：单位时间内控制体内流体质量的增加（减少）等于同时间内通过控制面流入（流出）的净流体质量。,2018/10/2,39,定常流动的连续方程 意义：

16、在定常流动条件下，通过控制面的流体质量通量等于0,2018/10/2,40,管道内定常流动的连续方程,取控制体为包含管壁与任意两个有效截面构成的流管，由于没有流体流过壁面，有 如果截面上的密度可近似为常量，则有 意义：定常流动中，通过流管的任意有效截面的质量流量是常量 如果流体密度为常数，则有 意义：不可压缩流体的体积流量是常数,2018/10/2,41,第四节 动量方程 动量矩方程 流体系统动量的随体导数为 由动量定理，流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力的矢量和，有 积分形式的动量方程为：,2018/10/2,42,定常流动的动量方程 意义：在定常流动条件下，控制体内质量力的主矢量与控制面上表面力的主矢量之和应等于单位时间内通过控制体表面的流体动量的主矢量，与控制体内部的流动状态无关。,