集合中元素的个数

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1、阅读材料 集合中元素的个数,例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会。这个 班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3 人。两次运动会中，这个班共有多少名同学参 赛？ 分析：设A为田径运动会参赛的学生的集合，B 为球类运动会参赛的学生的集合。那么AB就 是两次运动会都参赛的学生的集合。 试分析 AB、 A、B、AB中元素个数的关系.,解：设A=田径运动会参赛的学生， B=球类运动会参赛的学生，那么， AB=两次运动会都参赛的学生， AB=参赛的学生。 card（AB） = card（A）+ card（B）card（AB） =8+123=17。 答：两次运动

2、会中，这个班共有17名同学参赛。,用图来求解 ：,例2.某班学生参加数学课外小组的人数是参加 物理课外小组的人数的2倍，同时参加两个课外 小组的人数是5人，至少参加一个课外活动小组 的人数为25人.试求参加数学小组、物理小组的 人数各是多少？,参加数学小组20人，参加物理小组10人.,card（AB） = card（A）+ card（B）card（AB）,即 25=2x+x-5 x=10,card（AB） = card（A）+ card（B）card（AB）,能否推广？试写出三个集合类似公式.,例3. 某校高三学生共249人，毕业考试成绩优秀的 人数及科目如下表;,表中，两科优秀者包括里包括三

3、科全优者，单科 优秀者里也包括两科以上的优秀者。 有人说上面的统计表有误，你认为呢？,由统计表计算高三年级共有 131+117+152-61-79-62+53=251(人)，所以统计表有误.,例4. 在100个学生中，有美术爱好者63人，音乐 爱好者75人（并非每个学生都有爱好），对美术 和音乐都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？,最多63人，最少38人.,问题的提出： 无限集中元素的个数？！,是不是所有的无限集都有相同的个数呢？,1.无限 （1）初识无限 （2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？ 理解无限的关键一一对应 （3）无限集中元素的个数基数 与此相关的一个定义： 若在一个集合与

4、全体正整数集合之间 存在一一对应，则称这个集合是可数的。,（4）几个令人吃惊的例子,全体正整数和全体有理数一样多吗？,全体正整数和全体整数一样多吗？,部分整体？！,（5）问题的提出 是不是所有的无限集都有相同的基数呢？,康托在1973年11月29日给戴德金的信中提出：,11月29日12月7日，康托给无限的理论奠定了基础。他创造了一种适用于无限集的新数体系超限数，以解决无限集的基数比较问题。,实数集（0，1）是不可数的。 无理数集是不可数的（有理数集可数）。,是不是还存在数量上多于实数集的集合呢？,实数集是不可数的 。,实数、一直线上的点、平面上的点 及高维空间的任一部分的点的基数。,若在一个集

5、合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是可数的。,“数学中的无穷无尽，其诱人之处在于 它的最棘手的悖论能够盛开出美丽的 理论之花。”E.Kasner and J.Newman,集合论危机重重：,2.罗素悖论,大多数集合不包含它自身为元素，这样的集我们 称之为“普通的”。有许多集可能包含它自身为元素， 例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来 定义的集合是S的元素。”可以看到，S是包含它自身 为一元素的。这样的集我们称之为“非普通集”。我们 考查“所有普通集组成的集”，称它为C。那么C本身 是普通集还是非普通集？如果C是普通集，由于C定义 为包含所有普通集，它包含了它本身作为一个

6、元素。 这样的话，C必须是非普通集。这是一个矛盾。因此 C必须是非普通集，但这时C包含了一个非普通集 （即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义 相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是C的存在， 就已经使我们陷入矛盾。,罗素的理发师悖论,其他一些悖论,（1）芝诺悖论 1）二分法悖论 2）阿基里斯和乌龟,代数悖论：,数理逻辑诞生,数理逻辑这门学科在第三次数学危机运动的过程中诞生，在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学

7、方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。 现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。,真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出版了逻辑的数学分析，给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事物的类，1表示全类，0表示空类；xy表

8、示x和y的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；xy表示x和y两类所合成的类，运算是逻辑加法。 布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。当x、y不是类而是命题，则x1表示的是命题 x为真，x0表示命题x为假，1x表示x的否定等等。显然布尔的演算构成一个代数系统，遵守着某些规律，这就是布尔代数。,非数值运算的推广 集合运算 语句运算,康托的最大基数悖论、布拉里.福蒂悖论、 罗素悖论，动摇了整个数学的基础。,给数学提供一个可靠的基础： 1）罗素的类型论 2）策梅罗的公理集合论（ZFS系统） Z策梅罗 F弗兰克尔 S斯科兰姆,希尔伯特：,哥德尔不完全性定理：,数理逻辑的大发展： 证明论； 递归论； 模型论； 公理集合论。,作业： 查阅有关资料 试卷改错 二教不等式解法习题课的例题,